破解数列问题中不定方程整数解的常用策略

江苏省昆山市教师发展中心 (215300) 戈 峰江苏省昆山市柏庐高级中学 (215300) 何晓勤

在数列综合问题中，经常会遇到不定方程的整数解问题，此类问题往往会涉及函数、方程、不等式、数列的性质及数论等知识，精彩纷呈，解法灵活多样.因此，探讨求解此类问题的常用策略很有必要.所谓不定方程的整数解问题是指方程的个数小于未知数的个数，且未知数的解为整数的问题.笔者下面通过举例，谈谈求解数列存在性问题中不定方程整数解的常用策略，供大家参考.

1.整除分析法

利用数列项数为正整数这一特性，可将不定方程中的某个变元用其他变元代数表示，并分离常数(整数)，再利用整除的性质分析方程的整数解.

例1 设数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=2，anbn+bn=(n+1)bn+1.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

解析：(1)在anbn+bn=(n+1)bn+1中，令n=1，得a1=3，所以an=3+2(n-1)=2n+1.将an=2n+1代入anbn+bn=(n+1)bn+1，得bn+1=2bn，所以数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，即bn=2n-1.

2.奇偶分析法

对于某些不定方程，可从不定方程等式两边的符号和奇偶性角度分析，寻求矛盾来否定存在性，或构造等量关系来肯定存在性.

例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-1(n∈N*)，数列{bn}满足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)(n∈N*)，且b1=1.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)是否存在正整数m,n，使b1,am,bn(n>1)成等差数列？若存在，求出所有满足条件的m,n；若不存在，请说明理由.

(2)假设存在正整数m,n(n>1)，使b1,am,bn成等差数列，则b1+bn=2am，即1+n2=2m.若n为偶数，则1+n2为奇数，而2m为偶数，上式不成立.若n为奇数，设n=2k-1(k∈N*)，则1+n2=1+(2k-1)2=4k2-4k+2=2m，于是2k2-2k+1=2m-1，即2(k2-k)+1=2m-1.当m=1时，k=1，此时n=2k-1=1与n>1矛盾；当m≥2时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.

综上所述，满足条件的正整数m,n不存在.……