导数在高考中的应用分析

◇ 山东 刘士臣

导数是高考数学的必考内容,是解决相关问题的重要工具,在历年高考中,导数常与方程、函数及不等式等知识点交会进行考查,往往一个高考题涉及多个方面的知识．下面我们通过分析高考题来分析导数的具体应用．

例1已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当0＜a＜3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M－m的取值范围．

解析

本题考查了学生的运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想的应用．

(1)易知f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0,得x＝0或,若a＞0,则当x∈时,f′(x)＞0；当时,f′(x)＜0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减．若a＝0,f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增．若a＜0,则当＋∞)时,f′(x)＞0；当时,f′(x)＜0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减．

(2)当0＜a＜3时,由(1)知,f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)在[0,1]的最小值为,最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a．于是所以

当0＜a＜2时,可知单调递减,所以M－m的取值范围是．当2≤a＜3时,y＝单调递增,所以M－m的取值范围是

综上,M－m的取值范围是

点评

含参数函数单调性的讨论,关键在于确定参数的分界值．解题时易犯以下两个错误：①对参数a未讨论或对a分类不全面,易忽略a＝0的情形而导致失分；②当a＞0时,f(x)在(－∞,0),单调递增,中间应该用“,”或“和”连接,写成就会导致失分．

例2已知函数f(x)＝2 sinx－xcosx－x,f′(x)为f(x)的导数．

(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；

(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围．

解析

本题考查了学生的推理论证、运算求解能力以及灵活运用数形结合思想去分析和解决问题的能力．

(1)设g(x)＝f′(x),则

g(x)＝cosx＋xsinx－1,g′(x)＝xcosx．

(2)由题设知f(π)≥aπ,f(π)＝0,故可得a≤0．由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)＞0；当x∈(x0,π)时,f′(x)＜0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减．

又因为f(0)＝0,f(π)＝0,故当x∈[0,π]时,f(x)≥0．当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(π)≥aπ．因此,a的取值范围是(－∞,0]．

点评

本题第(2)问充分利用了第(1)问的结论,使问题大大简化了．