从一道考题的多解看初中数学几何解题能力的培养

黄江泉

(广西桂平市南木镇第一初级中学 537226)

在2019年广西贵港市中考的数学试题中，有下面这道题目：

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°<α<180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

(1)如图1，当∠CA′D=15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．

图1 图2

①写出旋转角α的度数；

②求证：EA′+EC=EF；

这题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，综合性强，难度大，方法灵活，有多种不同解法.

(1)②的思路一：在EF上截取EG=EC，先证△CEG为等边三角形，再证△CGF≌△CEA′即可.

(1)②的思路二：过C作CG∥A′D交EF于G，先证△CEG为等边三角形，再证△CGF≌△CEA′即可.

(1)②的思路三：延长ED到G，使DG=DE，先证△CEG为等边三角形，再证△CGA′≌△CEF即可.

(2)的思路一：连结A′F，由△CGF≌△CEA′可知CA′=CF，从而可证△A′CF为等边三角形，进而可证A′E同时平分∠FEB′和∠FA′B′，从而△A′EF≌△A′EB′，于是得B′与F关于A′D对称，只要求出AB′即可.

(2)的思路二：过A′作A′M⊥B′E，得△A′ME和△A′MB′分别为含有45度和30度角的特殊直角三角形，通过计算证明B′E=EF，进而可得到B′与F关于A′D对称，只要求出AB′即可.

(1)②的思路一、思路二用到了数学中最常用的截长法，其中思路二用到了“角平分线+平行线”得到的隐含等腰三角形，(1)②的思路三用到了数学中最常用的补短法，(2)的思路一用到了角平分线、全等三角形等基本图形(模型)，(2)的思路二用到了特殊直角三角形的基本图形(模型)，并且所有的思路中都用到了角平分线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形等基本图形的判定和性质.通过对本题多种解法的分析不难发现，培养和提高初中生的几何解题能……