蝴蝶定理、牛顿定理之间的联系

李伟健

(安徽省滁州中学 239000)

蝴蝶定理过圆内接四边形对角线的交点，作连心线的垂线，该垂线被四边形对边所截线段等长.

文[1]记录了蝴蝶定理的证明、变形与推广，这一发展历程显示了该定理与笛沙格对合定理之间的联系.实际上对角线的交点是一个自对应点，但是另一个自对应点为什么是该垂线上的无穷远点？

当对角线的交点在圆的内部时，该问题是显然的；当对角线的交点在圆的外部时，再从欧氏平面看，直观性就不强了.这也是为什么平面几何中对对角线交点在圆的内部和外部分别予以证明的原因.

从射影平面看，二者是统一的.因为圆内接四边形对角线的交点与圆心连线，其极点恰恰是该垂线上的无穷远点.所以对角线的交点、该垂线上的无穷远点调和分割该垂线与圆相交所成点对.这一点就可以解释另一个自对应点的确是该垂线上的无穷远点.

牛顿定理圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线.

文[2]记录了牛顿定理证明较有代表性的面积法，文[3]更是给出一个异常漂亮的几何方法，文[4]创造性地提出质点法并以非常简洁的方式证明了牛顿定理.本文无意去比较牛顿定理不同证明的优劣，目的是揭示蝴蝶定理、牛顿定理之间的联系.发现牛顿定理与蝴蝶定理的一个变形射影等价.

先从蝴蝶定理的一个简单变形谈起，即：

图1

结论1设圆O的内接四边形ABCD，AB、CD、BC、AD与过圆心O的直线交于点P、Q、X、Y，且OX=OY，那么……