函数思想在高中数学解题中的应用

汤琴

【摘要】伴随着高中数学教育教学体制改革的深入进行，对于学生的综合能力和综合素养的培育也在有条不紊地进行.一些数学教师在高中数学教学活动中运用新的教学策略和教学思想，对学生提高学习数学能力和培养思维习惯都产生了重要影响，并且函数思想在高中数学解题过程中有着重要的运用价值，可以帮助学生尽快突破难题的束缚，熟练掌握一些知识点，而在此过程中就需要学生对于函数思想以及不同类型函数的运用方式进行深入的了解.因此，我们针对函数思想在高中数学解题中的运用现状和如何运用的问题进行具体的讨论，并且提出具体的运用策略.

【关键词】函数思想;高中数学;解题应用;有效策略

【基金项目】本论文是泰州市教育科学“十三五”规划课题《提升高中生数学应用能力的实践研究》的研究成果（课题编号为tjkyblx2017036）

作为高考的必考科目，数学的作用和地位与日俱增.同时，函数是高中数学中最难的组成成分之一，函数知识比较抽象难懂，很多学生往往是敬而远之，有抵触和恐惧的心理，对于函数思想难以进行积极的探讨和运用.学生在解答一些和函数有关的题目时往往不知所措，并且难以解决，导致在解题过程中缺乏函数思想的渗透.甚至有的学生对于函数思想是什么都不太了解，随着时间的推移，学生的学习效率在逐渐地降低.因此，针对这些具体的问题，正式探讨函数思想的定义和内容.

一、函数思想的具体定义和内容

函数思想是解决“数学型”问题中的一种思维策略，所体现的是量和量之间的关系，并且这种关系是处于变化之中的，对于函数而言往往是一一对应的.因此，函数思想可以用“规律”二字进行准确的定义和论述.例如，函数y=f（x），在这个函数之中，对应法则f以及自变量的变化范围就是构成这个函数的基本要素.自变量的变化往往处于决定性的地位，可以决定因变量的值.对于值域而言，通常是由对应法则和定义域所确定的，三者之间的关系是你中有我、我中有你，并且密不可分的.究其整体而言，自变量、因变量、常数之间的关系和变化可以在函数中展示出来.与此同时，运用函数的思想去解决数学问题往往是需要建立辅助函数，并且将数学问题等内容转变成函数的形式，运用函数的性质求出相关结论，根据正比例函数、反比例函数、二次函数、一次函数、指数函数等函数性质进行求解.因此，函数思想所对应的具体内容是极其繁多，并且十分复杂的，需要学生对于函数思想进行统筹兼顾式的运用和理解.数学教师要扮演引导者和辅助者的角色，给学生提供更多的帮助.

二、函数思想在运用过程中常用的几种方法

1.整体法

这种方法是通过数学题目的整体形式进行统一的思考，对于整体结构进行整体的处理，从而让解题过程更加便捷.这对于学生的逻辑思维能力和知识迁移运用的能力提出了新的要求，学生需要理解整体和局部的关系，并且从整体考虑有用信息之间的关系.学生有时也会运用具体数值对于函数或者具体题目进行求索验证、整体运算.整体法在函数解题过程中有着充足的运用空间，可以提高整体的解题效率，使函数思想渗透得更加有效.

2.递推思想法

这种方法往往是针对富含一定数学规律的数学题目.对于所涉及的递推关系进行仔细的探索，构建相应的函数，用函数探索解决问题的思路和方法，从而真正地解决这些数学问题.这种方法通常适用于数列问题，比如，解决一些求解通项公式和前n项和的具体问题，而通常这样的题目都是有迹可循的，并且和函数有共同点.可以理解为数列是一种特殊的函数，因此，可以运用函数思想方法研究数列.

3.归纳假设法

这是一种比较常见的探索问题的方法.学生对于数学题目的具体性质可能不甚了解，但是，会进行相应的尝试和观察，通過不完全归纳法对数学问题进行整体的归纳假设，再通过数学归纳法对自己的假设进行验证.在进行数学教学时，数学教师往往需要建立一些函数，运用函数的思想以及变化规律，对于相应的结论开展验证工作，进而带领同学们一起进行数学知识点的归纳和总结，同时，建立一些数学模型和假设镶嵌其中，使得归纳假设法可以科学使用和推广.

以上三种方法的使用对高中生数学解题能力的提高发挥了积极的作用，并且，有的教师在进行函数题解题过程中会将三种方法融合使用.这种创新运用的方式和策略，再结合高中数学教学的若干要求，使教师取得了积极的运用效果，也切实满足了学生的需求.

三、函数思想在高中数学解题中的作用和价值

（一）函数图像可以降低学生的理解难度

对于具体的数学题目而言，学生很难寻找到做题的方法和诀窍，并且题目的要求和内容是变化多端的，学生要理解每一个题目的具体要求，要熟悉相关的内容，才能解决问题.部分学生是通过大量的练习甚至是熟记现成的答题模板来提高自己的理解能力和理解水平的，时间投入相对较多，但是效果不是十分明显.究其原因正是缺乏正确方法和正确思想的引领.运用函数思想可以提高学生对题意的理解能力，并且可以在某种程度上降低学生的学习难度和排除学习阻力，用最短的时间寻找最优的解题方法，并且建立辅助函数，运用函数图像及性质来进行积极的思考，不仅使得理解难度大大降低，而且解题效率成倍提高.

（二）函数思想可以提高教师的教学效率

对于高中数学教师而言，也需要想方设法地提高自身的教学，帮助学生寻找正确的学习方法和解题思路，这个过程是漫长而又痛苦的.很多学生往往如坠云雾之中，摸不着门路.但是，函数思想可以让学生尽快地摆脱这些旧状态的束缚，同样，教师在授课的过程中往往会对具体题目进行函数思想的灵活运用或者深层次拓展，并借助辅助函数图像进行相关的讲解，从而让更多的学生顺利地理解教师的所思所想，保证了二者的思路一致.因此，函数思想的运用可以极大地提高教师的教学效率.

四、函数思想在高中数学解题中的具体运用策略

（一）函数思想在实际优化问题中的运用

函数思想的运用范围十分广泛，尤其是在解决一些实际的优化问题时，这些问题如果用普通的方法去做可能十分烦琐，但是，如果运用函数思想和函数的方法进行探索可能会事半功倍.例如，路程优化需要考虑路程、速度以及时间三者之间的关系，生产问题需要考虑单价、总数以及时间之间的关系，因此，运用函数思想解决实际优化问题可以帮助学生尽快地掌握这些知识，同时解决相应的数学难题，而且，学生对于所求出来的答案应当代入题目中进行反复的验证，以符合实际问题的需求.这样才能为函数思想的深层次运用奠定良好的基础.数学教师鼓励学生仔细地阅读题目，反复思考，选择最优法解决问题.函数的外在形式是不断变化的，但是，函数思想的内在规律是有一定的轨迹可寻的.在运用函数思想解决实际优化问题的过程中，通过对函数形式，以及相关的方程知识的具体运用，学生加深了理解，取得了积极的学习效果.

（二）函数思想在高中数学不等式解题中的运用

高中数学教育的重要内容之一就是不等式证明.不等式证明的难度相对较高，并且对于学生的思维有一定的要求.在证明不等式的过程中，很多教师和学生发现了不等式证明原来和函数有着密切的关系，将函数思想应用到解决不等式的过程中，其实就是求解对应函数的正负区间、零点，以及单调性的问题，并且对此进行深入的研究.不等式求解对于学生的逻辑思维能力提出了更多的要求.学生既要考虑不等式的形式，又要考虑解集的范围是否符合答案要求，同时，需要根据限定条件去判断相关的内容.如果不运用函数思想以及具体的图像来解决问题，学生很容易在练习过程中出错，并且感到难以理解，无法解决实际的不等式问题.作为数学教师，更应当在讲解不等式题目的过程中，对函数思想进行充分的渗透.

例如，一位教师在讲解这样的数学题目时就选择了运用函数思想求证不等式：已知不等式n2+ mn+3>4n+m恒成立，并且0≤m≤4.求n的取值范围.经过分析，数学教师将m当作自变量，并建立相应函数：y=（n-1）m+n2-4n +3.因此，不等式就转换成y>0恒成立，再加上0≤m≤4的条件，就很容易计算出n的取值范围，进而轻松解决了这个问题.

教师要根据学生的实际需求进行相关数学思想的运用，引导学生寻找解题的技巧，熟悉解题流程，使得这些类似的不等式可以成为学生学习路上的垫脚石.通过这样的过程运算以及思索，很多学生逐渐掌握了方法，逐渐地发现题目之中所蕴含的函数思想，并且不断积累，及时总结.同时，教师可以通过提供类似的数学题目，让学生进行实际训练，即对于所运用的函数思想以及具体的函数形式进行选择和判断，从而提高学生的学习效率，使得函数思想在高中数学解题中的运用更加科学有效.

（三）函数思想在高中数列题目解题过程中的运用

数列往往可以理解为一种较为特殊的函数.在进行具体题目讲解和练习的过程中，我们往往将它看作方程或方程组，也就是通常所说的函数解析式的形式.对于数列而言，它是通过自变量的不断变化，从而得出相应的表达形式，或者求出特定的数值.因此，在对数列进行思考和解答的过程中，教师可以合理地运用函数的相关性质以及函数的思想，增强学生对于数列含义的理解，从而使学生对于等差数列、等比数列的相关问题能够轻松应对.

函数思想对于等差数列单调性以及等比数列中通项公式的求解过程有重要的作用.比如，在数列{bn}中，d=bn-bpn-p，公差d的几何意义在坐标系中表明这个等差数列的每一项点所处直线的斜率，教师要调动学生的积极性，让学生去发现规律，并且解决问题.再如，对于等差数列的求和公式：S=（a1+an）n2，在进行解题时，可以对这个等式做出相应变化：S=dn22+a1-d2n，这个时候再进行解答，就可以转换成与n有关的二次函数，使解答变得更加容易.

同时，数学教师将二次函数的图像进行展示，根据一些具体的函数性质，如开口方向、对称轴、表达式中的具体常数项，给予学生相应的指示，使得学生的思维得到调动，并且将其和等差数列以及等比数列进行联系.学生在联想的过程中可以发现其中的奥妙，进而使得函数思想顺利得以实践.学生对于数列并不再感到陌生和厌倦，而是会进行积极的尝试和实践，运用教师在授课过程中所渗透的数学思想和解题方法来寻找具体的答案，同时总结规律，形成属于自己独特的解题思路，从而提高解题效率.

结束语

总而言之，在解决高中数学应用难题的过程中，数学教师和学生对于函数思想进行了深入的探索，并且对于学生的逻辑思维能力、文字总结能力的培养是卓有成效的.新的教学策略和函数思想不断得到运用和推广.教师在课堂上注重启迪学生，使得学生的思维得到调动，并且注重知识的实践和运用，为学生营造良好的函数思想运用情景和氛围，提高了整体的教学效率.这些函数思想也为学生数学学习兴趣的激发、学习积极性的调动打下了良好的基础.相信在不久的将来，会有越来越多的高中数学教师将函数思想融入课堂教学过程中，用函数思想解决数学问题，运用函数思想讲解具体的数学知识，培养学生独特的思维方式，从而让更多的学生迅速地提高数学学习的效率.

【参考文献】

[1]王予轩.浅谈函数思想在高中数学解题中的应用[J].考试周刊，2018（27）：87.

[2]金香兰.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].新课程（下），2017（11）：48.

[3]朱兆轩.函数思想在高中数学解题应用中的再思考和实践[J].數学学习与研究，2018（22）：126.