用TI手持图形计算器探究2021年全国新高考数学Ⅰ卷试题
——解析几何专题

◎ 徐艳艳

解析几何是高考重点考查的题型之一，也是学生比较难掌握的内容。学生在学习中主要面临两大困难，一是解题思路的匮乏，遇到问题往往不能抓住问题的实质，而图形计算器可模拟演示解析几何的变化过程，帮助学生开阔思路，抓住解决问题的关键；二是烦琐的计算，特别是高考数学中的压轴题，有了解题思路后往往又遇到了计算的困难，通过图形计算器的计算功能可以轻松实现复杂计算，帮助学生初步建构编程思维，为以后信息技术的学习打下理论基础。图形计算器(主要运用TI-Nspire CX CAS图形计算器)功能十分强大，比较常用的功能如代数计算、图形绘制、统计分析等等。笔者认为，利用图形计算器的以上功能可以更好地实现数学与信息技术的融合，让学生体会问题处理的过程，提升学习能力。

一、数形结合，破解基础题型

例1 (2021 年新高考全国Ⅰ卷.第5 题)已知F1，F2是椭圆C：=1的两个焦点，点M在C上，则的最大值为( )

解析：本题为基础题型，主要考查椭圆的定义，使用图形计算器的计算功能可按如下过程探究。

1.代数求解。图形计算器具有强大的CAS运算功能，很多题目中烦琐的计算都可以通过图形计算器的计算功能实现，有些函数直接调出就可以使用，对于解析几何中计算量较大的题目运用起来较为方便，本题计算并不复杂，具体操作过程如下。

S1 添加一个计算页面，设点M到F1与F2设的距离分别为d1和d2。由椭圆的定义可知d1+d2=6。

S2 设d=d1·d2，并根据d1+d2=6进行换元。

S3 利用最大值函数fMax 求出当d1=3 时，d取得最大值，并求出此时最大值为9。

运算过程及显示结果如图1所示。

图1

2.作图探索，研究本质。图形计算器在圆锥曲线图像上的应用十分强大，可以使图形动态化、形象化，在图形的不断变换中让学生理解问题的本质，开阔学生解决问题的思路。具体操作过程如下。

S2 在椭圆上任选一个对象点M，连接MF1和MF2得到两条线段。

S3 测量MF1和MF2两条线段的长度，并使用文本计算得到MF1·MF2的数值大小。

S4 通过不断拖动变换点M的位置，MF1·MF2的数值大小也在不断变化，学生更直观地感受到当MF1和MF2两条线段的长度均为3时，取得最大值9。

演示过程如图2所示

图2

二、妙用图形演示启发解题思路

例2 (2021 年新高考全国Ⅰ卷.第11 题)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4，0)、B(0，2)，则( )

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当∠PBA最小时，|PB|=

D.当∠PBA最大时，|PB|=

解析：本题为多选题，主要考查圆上动点的距离问题，很多学生不理解为什么点P到直线AB的最大距离为圆心到直线的距离加半径，而最小距离就是圆心到直线的距离减半径？本题使用图形计算器的图形演示功能可直观展示这一过程。同样可用图形计算器演示C、D 两个选项为何当∠PBA最小时，PB与圆相切，而当∠PBA最大时，PB与圆也是相切的这一解题思路。具体操作过程如下。

S1 添加一个图形页面，绘制圆(x-5)2+(y-5)2=16 的图像。

S2 在圆上选取对象点P并绘制直线AB。

S3 过点P做PD垂直于直线AB，并测量PD的长度。

S4 通过使点P在圆上不断运动可直观感受PD的长度的变化，进而得出结论。

演示过程如图3，图4所示。

图3

图4

C，D两个选项的演示过程大致相同，通过测量∠PBA的大小，发现规律，即∠PBA取得最大与最小值的时候，均是PB与圆相切的时候，演示过程如图5，图6所示。

图5

图6

本文以2021 年全国新高考数学I 卷的两道解析几何题目为例，借助TI 图形计算器解决了这些问题，虽然目前的高考数学模式并没有将信息技术纳入考查范围，但是我们在平时的教学中给学生渗透一些信息技术手段可以有效地帮助学生理解一些复杂问题，简化一些复杂计算，并帮助学生构建清晰的解题思路，培养他们思考问题的方式和方法。这对于高中数学教学是十分有益的。