数学抽象概括能力的培养之模式化教学方式

罗容清

摘 要：国际象棋大师除了习得了50000种不同的国际象棋模式，还学会了怎样应对这些模式。我们教学生数学，也采用模式化的教学方式，除了可以提高学生的应试能力和数学抽象概括能力。抽象概括主要包括两个方面。第一，对知识的概括;第二，对方法的概括。

关键字：模式;抽象概括能力;定理和概念教学程序化;解题模式化

专家们试图找出国际象棋大师和较弱的棋手之间的主要区别，在德格鲁特（De groot，1956，1966）的研究中发现，国际象棋大师估计习得了50000种不同的国际象棋模式，并且他们能够很快的在棋局中识别这些模式。记忆这么多的模式和在国际象棋比赛中的优异表现之间有什么联系？纽厄尔和西蒙（Newell&Simon，1972）推测，除了学习了许多模式以外，大师们还学会了怎样应对这些模式。大师能够有效地“看到”可能的着法，而不需要思考它们。这就说明了为什么国际象棋大师擅长于几秒钟一步的快棋赛。了解了这个例子，我陷入了沉思：这给我们的数学教学以什么启示？如果我们教学生数学，也采用模式化的教学方式，除了可以提高学生的应试能力——就像国际象棋大师一样，同时他们的数学抽象概括能力应该也是可以获得提高。

我国著名数学教育家，数学教育心理学研究的开创者和奠基人曹才翰指出了数学概括的两层含义：其一，指在思想上把具有相同本质特性的事物联系起来;其二，是把被研究对象的本质特性推广位范围更广的包含这个对象的同类事物的本质特性。

数学抽象概括能力一般表现在以下几个方面：（1）数学语言意义的概括能力;（2）数学概念的概括能力;（3）对数学知识结构的概括能力;（4）数学思想方法的概括。

数学学习必须通过解决问题去理解和巩固知识，而解决问题是训练学生抽象概括能力的一种有效途径。在解决问题中，抽象概括主要包括两个方面。第一，对知识的概括，也即是对数学语言意义和数学概念的概括。第二，对方法的概括。也即是对数学知识结构和数学思想方法的概括。解决问题除了要用到某些知识外，必然要用到某些某些方法，一种方法往往可能具有一般性，它不仅可以用来解决一个问题，还有可能用来解决一类问题，对解决当前问题要对这个问题进行归类，把这个问题置于某种数学方法的统领之下，形成一种以方法统摄知识的体系。

在解题教学中，教师要训练学生在知识和方法两个方面的概括意识和概括能力。具体的做法可以参考如下几点：

一：定理和概念教学程序化，促进学生对陈述性的知识和精深加工，最终形成应用模式

数学程序性知识是由陈述性知识转化而来的，是陈述性知识的动态成分。它是以“产生式”这种动态形式来表征，一个产生式总是对某一或某些特定的条件满足时才发生的某种行为的一种程序。当一个产生式的行动成为另一个产生式的条件时，这两个产生式便建立了相互的联系。它同时还是一种双向产生式。“双向产生式”是指一种具有双重功能的指令，它既能指令在具备什么样的条件下会有什么动作，又能指令在不同的情形中选用不同的产生式。换言之，学习者不仅知道一条“如果......那么……”规则，而且还应该知道在什么条件下使用这条规则。

由此学生不再依赖于逐字的回忆定理内容，而是把定理的应用抽象概括成了一个模式。模式识别是技能程序化的一个重要部分。我们不必再思考下一步做什么，我们只要识别什么事适合于当前情境的做法。

二：解题模式化

解决问题重在对问题的表征，深入理解题意，寻找解决当前问题的迁移源，而不是盲目地“试误”;重在对问题解决后的反思，重在培养学生对模式和方法的概括能力，从现实问题中概括出具体的数学题型的模型。

所以，样例的教学中，为了让学生能够模仿样例进而超越样例去解决问题，老师可以引导学生抽象概括出解这一类型题的解题模式。也就是把一些相同相似的同类的题例放在一起，找出规律，寻找相同点和不同点，概括总结出共性，进而撒下探究的“种子”。让 同学们总结归纳同类型题的解决方法，并注意探究和发掘变化的事物中蕴含的一般规律。主动尝试变化的过程，探求其中的奥妙，最终抽象概括出解题模式。

例如，对于任意实数x，y，总有，若令，则x=a+b，y=a-b。这个二元代换可以用于解决一类问题。

例 实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，

分析  令x=a+b，y=a-b，代入已知等式化简，得

。

由于，得从而

由此，容易求得Smax和Smin值.

又如七年级学了平行线的性质后，有如下类似的题：

（1）如图AB∥CD，试判断∠BEF、∠EFG、∠FGD之间的关系.并说明理由.

（2）如图AB∥CD，∠AEF=150°，∠DGF=60°.试判断EF和GF的位置关系，并说明理由.

本题的解答需要先过点F做辅助线l平行于AB，然后才能运用平行线的性质来求解。这对于七年级的大多数学生来说，他们的数学抽象概括能力，主要还停留在小学的水平，对于添加辅助线还没有任何的概念，所以这就需要老师利用多个类似的样题和练习，引导学生抽象概括出这种题型作辅助线的条件，从而总结出解题模式。

三：课后反思归纳分类总结题型的解题模式

除了样例的教学中，老师要有意识的引导学生抽象概括出解这一类型题的解题模式。平时的作业，或阶段复习时也可以布置学生去收集同类型题，然后逐步让学生半独立，独立地概括总结出其解题模式，老师进行评价和总结。经过训练，学生就能够识别在很多问题中重复出现的各种要素及其模式，当这些模式出现时，不假思索就知道该怎么做。通过一个个解题模式，掌握问题解决规则和适当的问题解决组织方式，让学生学会举一反三，触类旁通，以不变应万变。使学生在变化的多个习题中，发现不变的规律，从而提高解决问题的能力，抽象概括能力也随之获得提高。

参考文献：

[1]张英伯，曹一鸣《数学教学心理学》，北京师范大学出版社

[2]約翰.安德森《认知心理学及其启示》第七版，人民邮电出版社

1547500783364