对一道平面几何问题的深入探究

福建省福州市第二十四中学(350015) 杨学枝

一、问题提出

笔者在网络上看到以下

问题在∆ABC中,∠A=100◦,BD是∠ABC的平分线,AD+BD=BC,求证:AB=AC.

较长时间未见有人给出解答,由此引起本人兴趣,于是经考虑提出以下问题: 在∆ABC中,D为边AC上一点,有以下四个条件:

(1)∠BAD=100◦;

(2)AB=AC;

(3)BD是∠ABC的角平分线;

(4)AD+BD=BC.

已知其中任意三个条件,则第四个条件是否为真? 我们回答是肯定的,下面就来深入探讨这个问题.

二、四个命题及其证明

命题1在等腰∆ABC中,AB=AC,∠A=100◦,D为边AC上一点,BD是∠ABC的平分线,则AD+BD=BC.

证法1(平几方法) 如图, 在BC边 上取点E, 连DE, 使得∠DEC= ∠BAC=100◦, 则A,B,E,D四点共圆(若四边形一个外角等于不相邻的内对角,则此四边形内接于圆),连AE,则∠DAE= ∠DEA== 20◦,因此得到DE=DA.又∠EDC= ∠ABC= 40◦=∠ECD, 因此得到ED=EC, 所以,EC=AD.在∆BED中,∠BED=180◦−∠DEC=180◦−100◦=80◦,∠BDE=180◦−∠DBC−∠BED=180◦−20◦−80◦=80◦,因此,BE=BD,所以,得到AD+BD=EC+BE=BC.命题1 获证.

证法2(三角方法)应用正弦定理和积化和差公式,有

命题2在等腰∆ABC中,AB=AC,D为边AC上一点,BD是∠ABC的平分线,AD+BD=BC, 则∠BAC=100◦.

证法1(平几方法) 如图, 设∠ABD= ∠DBC=α,α ∈(0,90◦),则∠ABC=∠ACB= 2α, ∠BAC=180◦−4α.在BC边上取点E, 连DE, 使得∠DEC=∠BAC, 则A,B,E,D四点共圆, 连AE, 则∠DAE=∠DEA==α,因此得到DE=DA.又∠EDC=∠ABC= 2α= ∠ECD,因此得到ED=EC,所以,EC=AD.由AD+BD=BC,即BD=BC−AD=BC−EC=BE,因此得到∠BDE=∠BED=

于是,得到∠ADB+∠BDE+∠EDC=3α+(180◦−α)+2α= 180◦, 由此得到α= 20◦, 故∠BAC= 180◦−4α=180◦−4×20◦=100◦.命题2 获证.

证法2(三角方法) 设∠ABD= ∠DBC=α,α ∈(0,45◦),则∠ACB= 2α,∠BAC= 180◦−4α,再由已知条件AD+BD=BC,并应用正弦定理,有

即得到sin 5α= sin 4α, 由 于α ∈(0,45◦), 则5α ∈(0◦,225◦),4α ∈(0◦,180◦),因此得到180◦−4α=5α,于是得到α=20◦,则∠BAC=100◦.命题2 获证.

命题3在等腰∆ABC中,AB=AC,∠A=100◦,D为边AC上一点,AD+BD=BC,则BD是∠ABC的角平分线.

证明由于在等腰∆ABC中,AB=AC,∠A= 100◦,则∠ABC= ∠ACB= 40◦.如图, 设∠ABD=α,α ∈(0,45◦),由已知条件AD+BD=BC,得到于是,在∆ABD和∆BCD中,应用正弦定理,便有

注意到α ∈(0,45◦),因此得到50◦−α= 30◦,α= 20◦,故BD是∠ABC的角平分线.命题3 获证.

命题4在∆ABC中,∠A= 100◦,BD是∠ABC的平分线,AD+BD=BC,则AB=AC.

证法1设∠ABD= ∠DBC=α,α ∈(0,40◦), 由于AD+BD=BC,即有又由正弦定理,得到

记f(α) =由于α ∈(0,40◦), 则0◦＜α,50◦+α,10◦+α ＜90◦,在区间(0◦,90◦)上,cosα,cos(50◦+α) 均为减函数,也为减函数, 因此,f(α) =为减函数.又由于当α= 20◦时,f(α) =f(20◦) == sin 40◦, 由此可知,f(α) == sin 40◦, 在区间(0◦,90◦)上只有唯一解α= 20◦.故要使sin 40◦sin(10◦+α) =cosαcos(50◦+α)成立,在原题的条件下,当且仅当α=20◦,这时,∠ABC=∠ACB=40◦,即AB=AC.证毕.

评注命题1、命题2 证法都不难,我们分别给出了平几证法和三角证法,命题3 给出了三角证法,是否有简捷的平几证法值得探讨.命题4 证明较为困难,但命题4 内涵深刻,除了上文的解法之外,还可以通过代数方法求解,限于篇幅,此处从略.

三、对命题4 的深入探讨

作为命题4 的推广,我们可以证明如下的

命题5在∆ABC中,∠A=θ,θ ∈(90◦,180◦),BD是∠ABC的 平 分 线,∠ABD= ∠DBC=α,AD+BD=BC.则

(2)对于确定的θ,满足式(1)的α值有且只有一个.

证明(1) 如图, 依题意有由于AD+BD=BC, 即,由正弦定理,得到

(2) 由于α ∈(0◦,45◦),θ ∈(90◦,180◦), 则α+∈(45◦,135◦) 因此, cosα,cos(α+为α的减函数, 从而cosαcos(α+为α的减函数;同时有α+θ ∈(90◦,180◦),因此cos(α+θ)为α的减函数,从而也的减函数.所以,关于α的函数在区间α ∈(0,45◦)上是减函数.

又由于当α= 0◦时,＞0,当α=45◦时,(90◦,135◦),则cos(45◦+)＜0;45◦+θ ∈(135◦,225◦),则cos(45◦+θ)＜0, 因此, 有＜0, 所以, 关于α的函数在区间α ∈(0,45◦) 上只有一个零点, 即满足式的α值有且只有一个.命题5 获证.

在上面命题4 中,θ= 100◦,可得到α= 20◦.下面再举一个特例.

例在∆ABC中,∠A= 120◦,θ ∈(90◦,180◦),BD是∠ABC的平分线,∠ABD=∠DBC=α,AD+BD=BC.求α值.

解由命题5 可知,α有且仅有一个值满足

解得sin(α+30◦)=合题意应舍去, 因此得到sin(α+30◦) =由于30◦＜α+30◦＜75◦, 故α+30◦=即−30◦≈10.5◦.

还可以对本文开头提出的问题作一些相关的探索,限于篇幅就此而止.

通过对以上一个问题四个命题的探究和证明,启发我们在研究问题时,要善于对问题的条件与结论进行转换,从而对问题有更加深刻的认识,同时从不同的角度对问题进行探讨,这有助于提高数学思维能力.