一维谐振子势阱中的理想量子气体

侯吉旋

(东南大学物理学院,江苏 南京 211189)

随着低温技术的发展,玻色-爱因斯坦凝聚在1995年已经被实现[1-3]。低温下的量子系统已经成为物理学界的研究热点。被囚禁于光学势阱中的粒子间的相互作用,可以方便地通过Feshbach共振技术进行调节[4,5],因此低温量子系统成为了检验各种理论的一个非常干净的对象。将量子气体束缚在三维非对称势阱中,如果其中两个维度束缚得很紧以至于不会在这两个维度上产生激发,那么就构成了准一维量子系统.对于一维谐振子势阱中的玻色体系和费米体系,已引起人们的广泛兴趣[6-16]。另外,一维谐振子势阱中的无相互作用的量子气体是统计物理中少有的能够精确计算其微观状态数的系统,对统计物理教学也颇有意义。本文将利用微正则系综来研究一维谐振子势阱中的理想玻色气体和费米气体,并指出它们的等效性。

考虑一个囚禁于一维谐振子势阱中无相互作用的量子系统,能级间距为ε.为方便起见,我们选取基态为能量零点。在微正则系综中,粒子数N和系统总能量E是确定的,满足这个条件的不同能级的布居数组合{n0,n1,…,n i,…}对应于不同的微观状态,对于玻色系统n i≥0,对于费米系统0≤n i≤1。于是不同的微观状态对应于方程组

的不同非负整数解,其中m≡E/ε为激发子的个数。对于任意正整数m,当m≤N时,本问题可以转化为正整数拆分问题。例如当m=3≤N时,有三种拆分方式:m=3,m=2+1以及m=1+1+1,等号右边的正整数按照从大到小排列。上述三种拆分方式分别对应于玻色系统的微观状态为{N-1,0,0,1,0,0,…},{N-2,1,1,0,0,…}和{N-3,3,0,0,…},如图1(a)所示。……