突破直线过定点问题中的运算障碍—以2020 年全国卷Ⅰ解析几何题为例

>>>张晓立

圆锥曲线中的定点问题一直是近几年高考的热点， 很多同学做此类题时都有基本的解题思路，但大部分人对于其中的运算却心存畏惧，对于运算条件的分析、式子结构的合当变形、运算方向的把握等能力有所欠缺.

2020 年全国卷Ⅰ第20 题考查的是圆锥曲线中直线过定点的问题，考生的解法主要有两种：第一种是直接设出直线CD 的方程x=my+n，通过运算得出m，n 的关系， 再代回直线方程中，即可求出直线CD 所过的定点，难点是整合题中的条件；第二种是先设出主动点P 的纵坐标y0，进而用y0表示出从动点C，D，再求出直线CD 的方程，难点是运算化简.

无论是第一种解法还是第二种解法， 考生的解题障碍多集中在后面的运算上，面对冗长的式子、繁杂的结构，考生往往会产生畏难情绪，虽然有解题思路，却在运算中找不到出口，导致丢分.那么，该如何突破这些运算障碍呢？可从以下几点着手解决.

一、目标驱动策略

（2020 年全国卷Ⅰ，理20 题）已知A，B 分别为椭圆的左、右顶点，G 为E 的上顶点，.P 为直线x=6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D.

（1）求E 的方程；

（2）证明：直线CD 过定点.

分析：第一问E 的方程为x29 +y2=1.方法常规，运算简单，不再详细说明.

第二问采用直接设直线方程的方法： 若直线CD 斜率不为0 时， 设直线CD 的方程为x=my+n，C（x1，y1），D（x2，y2） .由题意可知-3＜n＜3.

得（m2+9）y2+2mny+n2-9=0.

难点：很多学生止步于3y1（x2-3）=y2（x1+3），因为这个式子不易整理成只含y1+y2，y1y2，x1+x2，x1x2的结构，从而无法结合韦达定理得出m，n 的关系.

应对策略1：

我 们 期 待 式 子 中 出 现y1+y2，y1y2，x1+x2，x1x2这种结构，将3y1（x2-3）=y2（x1+3）化为这里y1，y2是以比的形式出……