关于导数与积分在几何意义上的矛盾

史 菁

（中国民用航空飞行学院 计算机学院，四川 广汉 618300）

在一元微积分中,导数(微分)与积分被视为一对互逆运算.文献[1]将一元微积分视为由三个部分组成,微分、积分和反映二者矛盾关系的微积分基本定理,并将微分和积分视为是微积分的主要矛盾,在矛盾的观点下分析梳理了微积分的一些定理和公式,找到了微分和积分的定理或公式的对立统一.李庆玉在矛盾的观点下,讨论了微积分中有界、收敛、连续、可导和可积及其对立面的联系和区别.李彦用实际例子分析了微积分中几类矛盾的对立统一性，如微分与积分、有限与无限、离散与连续.本文在将导数与积分视为微积分一对矛盾观点下,对于某一确定区间，讨论分析函数的导数和积分在几何意义上的对立和统一性.最后给出函数的单调性、曲线的凹凸性和极值充要条件的一种积分证明.下面先给出导数的几何意义和积分的几何意义相关概念。

1 导数的几何意义

导数的几何意义[2]:函数y=f(x)在点x0处可导,则其导数f'(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M[x0,f(x0)]处的切线斜率,由直线的点斜式方程可知曲线y=f(x)在点M[x0,f(x0)]处的切线方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0).

若函数y=f(x)在区间I上可导,对于每一个x0∈I,曲线y=f(x)在点P[x0,f(x0)]处对应唯一的一条切线方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0),当x0在区间I从左至右运动变化时,便可得到一关于曲线f(x)的切线族.由极限的唯一性,可知给定曲线在确定区间的切线族是唯一确定的。

2 积分的几何意义

定义1[2]:如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即,都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数。……