一道数学试题的教学与思考

苏利

摘要：解题教学作为一种教学形式，在数学教学中居于重要地位。解题教学不只在于解题，还在于培养学生的思维、挖掘数学思想方法、关注和培养学生的问题意识以及数学核心素养。

关键词：数学解题教学  教学思考

解题教学作为一种教学形式，在数学教学中居于重要地位。解题教学不只在于解题，还在于挖掘题目背后的教育价值。下面，笔者结合一道试题，就教学与思考加以阐述，与大家交流。

一、教学再现

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，点2，2在C上。

（1）求C的方程;

（2）直线l不經过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

这是2015年普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学第20题。问题提出后，学生独立思考，自主探究。十分钟后，生1给出了如下的解答（解法1）。

解法1：（1）由题意有a2-b2a2=12，又4a2+2b2=1，解得a2=8，b2=4。所以椭圆的方程为x28+y24=1。

（2）设直线l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。将y=kx+m代入x28+y24=1，得2k2+1x2+4kmx+2m2-8=0。

x1+x2=-4km2k2+1，故x0=x1+x22=-2km2k2+1，y0=kx0+m=m2k2+1。

于是直线OM的斜率k′=y0x0=-12k，即k′k=-12。

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值-12。

师：你是如何想到这种解法的？

生1：由直线与椭圆的方程，利用消元法可得到线段AB的中点M的坐标，从而证明出结论。

师：其他同学有不同的想法吗？

生2给出了另一种解答（解法2）。

解法2：（1）同上;

（2）设Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，则x0=x1+x22，y0=y1+y22。因为A，B在椭圆上，所以x128+y124=1x228+y224=1，两式相减得，x1-x2x1+x28+y1-y2y1+y24=0，即y1-y2x1-x2·y0x0=-12。

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值-12。

师：你如何想到的呢？

生2：由点差法可以得到直线的斜率以及所截弦的中点坐标之间的关系，进而可以证明结论。

师：以上两位同学分别用消元法、点差法给出了不同的解答。

师：若把“椭圆C：x28+y24=1”改为“椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0”，其他条件不变，（2）的结果如何？

生3：仍是定值，其过程如下：

设直线l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。将y=kx+m代入x2a2+y2b2=1，得a2k2+b2x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0。

x1+x2=-2kma2a2k2+b2，故x0=x1+x22=-kma2a2k2+b2，y0=kx0+m=mb2a2k2+b2。

于是直线OM的斜率k′=y0x0=-b2ka2，即k′k=-b2a2。

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值-b2a2。

师：有什么规律吗？

生3：其定值是y2与x2的分母比值的相反数。

师：其他同学同意生3吗？

生4：我用点差法得到的结果和生3相同。

师：若把“椭圆C：x28+y24=1”改为“圆C：x2+y2=r2r>0”，其他条件不变，（2）的结果如何？

生5：是定值-1，结果符合生3得到的规律，其过程如下：

设直线l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。将y=kx+m代入x2+y2=r2，得k2+1x2+2kmx+m2-r2=0。

x1+x2=-2kmk2+1，故x0=x1+x22=-kmk2+1，y0=kx0+m=mk2+1。

于是直线OM的斜率k′=y0x0=-1k，即k′k=-1。

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值-1。

师：若把“椭圆C：x28+y24=1”改为“双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0”，其他条件不变，（2）的结果还符合生3得到的规律吗？

生6：不符合。

师：为什么？

生6：椭圆和圆都是封闭曲线，而双曲线不是，它们的方程也有差别。

师：生6观察得很仔细。其他同学同意他的观点吗？

生7：我认为符合生3的规律，当把双曲线的方程中间的符号移到分母，得到x2a2+y2-b2=1，其过程如下：

设直线l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。将y=kx+m代入x2a2-y2b2=1，得a2k2-b2x2+2kma2x+a2m2+a2b2=0。

x1+x2=-2kma2a2k2-b2，故x0=x1+x22=-kma2a2k2-b2，y0=kx0+m=-mb2a2k2-b2。

于是直线OM的斜率k′=y0x0=b2ka2，即k′k=b2a2。

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值b2a2。

师：虽然双曲线的方程形式与椭圆不同，但是通过变形，就可以统一到一种形式下。

师：若把“椭圆C：x28+y24=1”改为“抛物线C：y2=2px（p>0）”，其他条件不变，（2）的结果如何？

生8：不为定值，其过程如下：

设直线l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。将y=kx+m代入y2=2px，得k2x2+2km-px+m2=0。

x1+x2=-2（km-p）k2，故x0=x1+x22=-km-pk2，y0=kx0+m=pk。

于是直线OM的斜率k′=y0x0=kpp-km，即k′k=k2pp-km不为定值。

师：生8给出了很好解释。那么什么样的曲线才符合规律呢？

生9：曲线的方程符合x2p+y2q=1，其中p，q为常数。

生10：p，q还要同正或异号。

师：生9，生10说得很好。通过前面的探究，大家能总结出这个规律吗？

生11：若曲线C：x2p+y2q=1（p，q为常数，且同正或异号），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值-qp。

师：生11归纳得很好。通过今天的学习，我们不仅得到了曲线的一个性质，还认识了一种研究问题的方法：从特殊到一般。下面有两个思考题，大家课下继续探究：

思考1.设A（n，0）是x轴上的任一点，其他条件不变，直线AM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值吗？

思考2.若把“橢圆C：x28+y24=1”改为“椭圆C：（x-p）2a2+（y-q）2b2=1（a>b>0，p，q为常数）”，（2）的结果如何？

二、教学思考

（一）解题教学要培养学生的思维

《普通高中数学课程标准》（2017年版）指出，要着力发展学生的数学核心素养。而发展学生数学核心素养的本质是培养学生的思维。众所周知，数学是思维的科学，是思维的体操，数学教学的核心任务之一就是培养学生的思维能力。在新课教学中，教师应尽力创设问题情境，使学生在探究知识的发生与发展中学会感知、观察、归纳、类比等逻辑思考的方法，从中培养思维能力。而解题教学一直是数学教学的重点和核心，在培养学生思维方面有着不可替代的作用。在解题教学中，引导学生从不同角度分析题目，探寻解决问题的不同方法，拓宽思维的广度。从试题开始，沿着不同的方向拓展，挖掘问题背后的数学本质，训练学生思维的深度。联想到本题教学，给学生充分的时间思考，从而得到消元、点差两种方法。在本题解决的基础上，沿着椭圆、圆、双曲线、抛物线这条线探究下去，得到了圆锥曲线的一个性质，从而使学生的思维得到很好的锻炼与培养。

（二）解题教学要注重思想方法

波利亚说过，掌握数学就是意味着解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题。解题教学基于不同的学情，是否也该如此呢？解题教学是有讲究的，解题只是解题教学的一部分，只是完成教学的一步。解题技巧可以有，但不是重点，思想方法是重点，但还不是全部，还有题目本身所散发的数学本质以及教育价值。章建跃博士曾指出，当解题技巧脱离思想方法时，技巧就变成雕虫小技了。因此，解题教学不仅仅是关注解题技巧，而是聚焦解题的思想方法以及题目背后的数学本质，尤其对于由“特点”的题目，要从深度与广度两个方面加以探究，挖掘题目背后的教育意义，培养学生良好的思维品质与创新意识。基于此，对于本题教学，笔者不仅引导学生探寻出消元、点差这两种解法，而且进行了深度上的拓展，学生收获的不仅是两种实用的解题方法，还收获了探究问题的一种方法：从特殊到一般。在这个过程中，还收获了一个解析几何的性质，而探究数学的乐趣也弥漫在其中。

（三）解题教学要关注学生

高中数学教育，就是帮助学生获得适应现代生活和进一步学习所必需的数学素养。简单地讲，数学教学要以学生为主体，关注学生的发展。解题教学也不例外，要避免“遇到新课搞探究，逢到解题搞讲授”。讲授固然是一种重要的教学方法，在某些知识的教学中起着不可替代的作用，比如符号的书写等，但是不能因此而放弃学生独立思考、合作交流的机会。教师要充分信任学生，敢于放手，“无为而治”，乐享其成。而对于本题教学，教师围绕学生提出问题，然后给学生充分的时间思考，一步一步获得最后的“圆满结局”。

（四）培养学生的问题意识

现代教育理念提倡培养学生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力，而提出问题比解决问题更重要，要提出问题，首先要有问题意识，然后才能在具体的数学情境中发现并提出问题。问题意识的培养不是一朝一夕的事，而是一个循序渐进的过程。教师应秉着“看过问题三百个，不会解题也会提”的思想，做好示范。只有学生看得多了，才会慢慢有了问题意识，才能提出问题。新课教学如此，解题教学亦如此。

（五）解题教学要培养学生的数学核心素养

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习与应用的过程中逐步形成和发展的。这不仅说明培养学生数学核心素养的重要性，还说明了素养形成与发展的途径。作为数学学习与应用的一种，解题教学要在这方面做好表率，教师要善于挖掘题目背后的数学思想方法，从中提炼数学素养的培育价值。比如本题是一道解析几何题，涉及椭圆方程、离心率，椭圆与点、椭圆与直线的位置关系，直线的斜率等知识，是典型的数形结合的案例，可以挖掘直观想象这一素养。而利用消元法或点差法，建立两直线间的斜率关系，从而证明命题，这一过程可以提炼逻辑推理与数学运算素养。从本题出发，分别从椭圆、圆、双曲线以及抛物线，对题目进行拓展，从中归纳出一个结论，进一步渗透逻辑推理和数学抽象素养。总而言之，数学核心素养的培养需要一个过程，只有教师抓住机会，在教学中加以渗透，方能见效。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]章建跃.数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社.2017.

[3]王鹏飞.基于核心素养的解题教学的行动研究[J].中国数学教育（高中版），2016（12）：17-21.