修正的Cahn-Hilliard 方程的大时间步长方法

胡欢欢, 李 杨, 贾宏恩

(太原理工大学数学学院，太原 030024)

1 引言

在二元合金中，为了模拟现象学中的失稳分解[1,2]，Cahn 和Hilliard 于1950 年提出Cahn-Hilliard 方程.为了抑制粗化现象，Aristotelous 等人[3]提出了修正的Chan-Hilliard 方程.修正的Cahn-Hilliard 方程具有如下形式

并且Ω ∈Rd, d=2,3.u 是指混合物中两种物质之一的浓度，称为相变量.

当θ =0 时，方程(1)是经典的Cahn-Hilliard 方程[4].许多学者对经典Cahn-Hilliard方程的数值解进行了研究，例如，Zhang 和Wang[5]提出结合凸分裂方法的全离散格式，此格式满足质量守恒及原始问题的能量耗散；Guill´en-Gonz´alez 和Tierra[6]用不同方法去逼近双势阱项，并分析了关于时间分别是一阶和二阶的线性格式；Elliott 等人[7,8]利用非协调有限元Morely 元，得到了最佳L2误差估计；Liu 等人[9]用传统有限元和混合有限元两重网格方法来解Cahn-Hilliard 方程；Du 和Nicolaides[10]提出一种有限元格式来解带有Dirichlet 边界条件的Cahn-Hilliard 方程，并且证明了这种格式是稳定的.当θ = 1 时，方程(1)为特殊的修正的Cahn-Hilliard 方程[11].此时方程(1)与经典的Cahn-Hilliard 方程有很大的不同，修正的Cahn-Hilliard 方程仍用来描述相分离和粗化现象的模型[12-16].Lee 等人[17]利用隐式方法由二维截面图像重构三维实体模型；Gillette[18]应用凸分裂和谱方法对修正的Cahn-Hilliard 方程进行了研究；Choi 等人[19]利用谱方法研究了修正的Cahn-Hilliard 方程.

本文的主要工作如下：首先给出修正的Cahn-Hilliard 方程的半离散数值格式，并证明此格式的稳定性；其次，给出全离散格式及其误差估计；最后，通过数值算例来验证理论部分的正确性与有效性.

2 半离散格式及稳定性

2.1 基本理论及符号

设L2(Ω)表示平方可积函数，其内积和范数分别为

空间L∞(Ω)和Hm(Ω)的范数分别……