三次Bézier 曲线另一种带三参数的新扩展及其应用∗

王成伟 张卷美

1. 北京服装学院，北京市 100029

2. 北京电子科技学院，北京市 100070

三次Bézier 曲线广泛地应用在曲线自由设计中，但三次Bézier 曲线不能表示二次曲线并且控制点固定时形状不易改变，为此，很多研究者利用形状参数来构造Bézier 扩展曲线[1-10]。 文献[1]通过增加t 的次数，得到了4 个带有一个参数的基函数，扩展了三次Bézier 曲线。 文献[2-4]分别研究了含有一个形状参数由二次三角多项式组成的基函数，这样构成的曲线的端点特性与三次Bézier 类似。 文献[5-6]分别讨论了二次和三次三角拟Bézier 曲线，它们都含有两个形状参数，但基函数和曲线一般不具有对称性，只具有拟对称性。 文献[7]针对一类带有双参数三次Bézier 扩展曲线，研究其形状参数如何改变曲线的形状的。 文献[8-9]分别研究了三次Bézier 曲线的扩展，虽然曲线中含有三个形状参数，但是所构造的基函数和曲线一般不具有对称性。

本文讨论了三次Bézier 新的扩展曲线，三个形状参数λ、α 和β 含在扩展曲线中，拓广了三次Bézier 曲线的，它克服了文献[8-9]中基函数和曲线不对称的缺点，且更具有一般性。 当λ=1 时，就是文献[1]中讨论的曲线；λ=0 时，就是文献[2]中讨论的曲线；当λ=1，α=0 时，就是三次Bézier 曲线。 实例表明，本文所构造的曲线，可以精确表示一些二次曲线且形状是可调的，对曲线造型是有益的。

1 λαβ -TC-Bézier 基函数的构造及性质

定义1 对t ∈[- 1，1]，令

其中，参数λ ∈[0，1]、α ∈[- 3，1]、β ∈[- 1，1]。

称(1)式为λαβ-TC-Bézier 基函数。

三参数λ、α 和β 取不同值时，基函数所绘的图形见图1。

式(1)所表示的基函数拥有性质如下:

性质1 非负性及权性

性质2 对称性

对任意的t ∈[0，1]，总有bi(t) = b3-i(1 -t)，i = 0，1，2，3。……