模糊度量空间中几种压缩映象的公共不动点定理

孙玉鑫，谷 峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 311121)

1 引言和预备知识

1975年Kramosil和Michalek[1]首次提出模糊度量空间的概念，随后George和Veeranani[2]修改了文献[1]中模糊度量空间的概念，并得到了该空间中的Hausdorff拓扑. 1994年Mishra[3]等人在模糊度量空间中给出了相容映象对的概念，许多学者相继给出了多种相容映象的类型[3-6]，并证明了一些公共不动点定理. 2012年Imdad[7]和Sintunavarat[8]分别提出了非相容映象对和(Ag)型R-弱交换的概念.

首先我们给出模糊度量空间中的基本概念.

定义1[9]称二元算子*:[0,1]×[0,1]→[0,1]是连续的t-范数,如果以下条件被满足：

(1) *满足交换律和结合律;

(2) *是连续的;

(3) 对∀a∈[0,1],有a*1=a;

(4)a*b≤c*d,∀a≤c,b≤d,a,b,c,d∈[0,1].

常见的t-范数主要有a*b=ab,a*b=min(a,b)和a*b=max(a+b-1,0).

定义2[1]一个三元组(X,M,*)称为模糊度量空间,其中X是任意的非空集合,*是一个连续的t-范数,M是作用在X2×[0,∞)上的模糊集并且满足以下条件：对于∀x,y,z∈X,t,s>0,有

(1)M(x,y,0)=0;

(2)M(x,y,t)=1⟺x=y;

(3)M(x,y,t)=M(y,x,t);

(4)M(x,y,t)*M(y,z,s)≤M(x,z,t+s);

(5)M(x,y,·):[0,∞)→[0,1]是左连续的.

注1文献[10]中指出模糊度量空间中有以下条件成立：

例1[2]设(X,d)为度量空间,a*b=min(a,b),对所有的x,y∈X,t>0,定义

则M是一个模糊度量.

如果每个G-柯西列在X中都收敛,则称该模糊度量空间是G-完备的.

引理1[10]设(X,M,*)是模糊度量空间,那么M在X2×(0,∞)上是连续的.

如果函数φ满足条件(Φ),则对∀t>0,n∈N+,有φn(t)>φn-1(t)>L>φ(t)>t.

刘展[13],李亚琼[14]和周书行[15]等人先后在概率度量空间、度量空间以及G-度量空间中证明了有关非相容映象对的公共不动点定理.受以上文献的启发,本文主要利用非相容映象对和(Ag)型R-弱交换的概念,在既不需要映象对连续也不需要空间完备的条件下,在模糊度量空间中建立了几类新的压缩映象的公共不动点定理,进一步推广和改进了已有文献的相应结果.

2……

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