藏在巧合背后的秘密

【摘要】文章从一道课堂例题出发，发现学生使用错误解法却凑巧得出了正确答案，并且这种错误解法能凑巧答对许多类似的题目，由此展开了一番探究，并得出了一般性的结论。

【关键词】不等式  整体代换  线性规划  动态扫描

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）18-0126-03

一、巧合产生

在教授人教A版必修5《3.1不等关系与不等式》这节内容时，笔者选用了一道例题作为课内探究题（当时学生还未学习线性规划的相关内容），该例题如下：

例1  已知函数f（x）=ɑx2+bx满足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（2）的取值范围。

本题在不使用线性规划作图求解的情况下用整体代换的方法求解如下：

解法1  设f（2）=αf（1）+βf（-1）=（α+β）ɑ+（α-β）b，

因为f（2）=4ɑ+2b，所以α+β=4

α-β=2 ，可得α=3

β=1，即f（2）=3f（1）+f（-1）.

又由1≤f（-1）=ɑ-b≤2

2≤f（1）=ɑ+b≤4，得7≤f（2）≤14.

课堂上笔者请了一位学生上黑板板演，他的做法如下：

解法2  因为1≤f（-1）=ɑ-b≤2

2≤f（1）=ɑ+b≤4，两式相加得3≤2ɑ≤6

又由4≤2ɑ+2b≤8， 所以f（2）=4ɑ+2b=2ɑ+（2ɑ+2b），得7≤f（2）≤14.

他得到的答案是正确的，班里还有一部分学生也是用这种方法做的。那么他们的解法对吗？细究他的解题过程可以发现，他借助的是ɑ+b的范围与ɑ的范围，而ɑ与ɑ+b实际上不独立，它们是相互制约的，即当ɑ+b取到最大值时，ɑ未必取得到最大值。不妨利用线性规划的方法做出本题的可行域。

图1是由已知条件确定的（a，b）的可行域，图2是该学生使用a+b与a的范围所确定的（a，b）的可行域，发现两者不一致。即利用a+b与a的范围会使可行域扩大，所得到的目标函数z=4a+2b的范围也有可能会扩大。但此处目标函数在图1和图2的可行域中，都恰好在点（3，1）处取得最大值，在（1.5，0.5）处取得最小值，所以产生了巧合。假如换一种拆法：

解法3  由1≤f（-1）=ɑ-b≤2

2≤f（1）=ɑ+b≤4 ，可得-3≤-2ɑ≤0，

所以，4ɑ+2b=4（ɑ+b）-2b，所以5≤4ɑ+2b≤16.