论数学学习中的“卡点”及解决策略

李宏贞

数学教学中存在这样的情况，学生没有理解某个知识点，并不是态度问题，也不是教师讲解不深刻的问题，而是学生在理解这个知识的过程中在某个点上“卡”住了。这个点是学生在某个具体知识上理解的障碍点，解决了这个“拦路虎”，问题就迎刃而解。不少教师忽视了学生的卡点问题，往往把学生对知识的不理解归结于学习态度问题，忽视了学生真正需要帮助的卡点问题，没有真正去了解学生“卡”住的原因，没有因人施策，导致学生掌握不了这个知识。笔者对某小学四年级全体学生进行了一个学期的研究，通过辅导学生解决错题的方式进行观察和反思，将学习中的卡点归纳为三类并提出解决策略。

一、陈述性卡点

陈述性卡点就是由于学生陈述性知识缺乏所造成的对某个知识点的理解障碍。所谓陈述性知识就是“是什么”的知识，指的是一般的事实、原理等知识，陈述性知识大致上与传统的知识概念相当。陈述性卡点是最普遍的卡点，学生学习数学因为陈述性知识的缺乏，往往导致错题的发生。

题目：一个三角形的两个内角分别是84°和48°，它的第三个角是（  ），这是一个（  ）三角形。

这是一道比较容易解答的题目，只要掌握了三角形两个基本的陈述性知识“三角形的内角和为180°”“锐角三角形是三个角都小于90°的三角形”，问题就可迎刃而解。但恰恰有些学生没记住这两个陈述性知识。第一个陈述性知识“三角形的内角和为180°”是四年级下学期新学的知识，有些学生虽然课堂上掌握了，但课后遗忘了;第二个陈述性知识是四年级上学期的知识，由于学习间隔时间太长，学生也忘记了。而教师往往忽视陈述性知识容易遗忘的特点，对第一个知识，认为经过课堂上对内角和为180°的推理分析和动手实践，学生肯定能掌握，即使不理解，也能记住，没有针对性地对这个新学的知识作必要的强化训练;对第二个知识，没有意识到需要进行复习，加强与新知识的联系。

解决陈述性卡点的课堂教学策略是强化策略和先行组织者策略。根据遗忘曲线规律，遗忘的进程很快，并且先快后慢。根据这个定律，学习要经常复习，不定时复习。教师对于新知识，特别是核心知识，需要在课堂上及时强化，课后不定时复习。

所谓的先行组织者，是指在学习新知识之前，为学生呈现一个引导性材料，这个材料有助于学生对新知识的理解。教师在讲解三角形内角和之前，可以让学生复述钝角三角形、直角三角形和锐角三角形三者之间的联系与区别，作为学习三角形的引导性材料，然后分小组探究这三类三角形内角和的规律，再归纳出三角形内角和为180°這一知识点。解决陈述性卡点的教学策略见表1。

二、程序性卡点

程序性卡点就是由于学生程序性知识缺乏所造成的对某个知识点的理解障碍。所谓程序性知识是“如何做”的知识，通常以一系列要遵循的步骤的形式出现。它包括技能、算法、技术和方法的知识，还包括用于决定何时运用不同程序的标准的知识。简单来说，程序性知识就是“怎么做”的知识。造成学生学习出现卡点的第二类原因是程序性知识缺乏，下例就属于这种情况。

例：如图1，求出：∠1=（   ），∠2=（   ）。

以∠1的求解为例，这个问题的卡点就是程序性卡点，学生虽然知道三角形的内角和为180°，也知道直角三角形的两个锐角和为90°，但就是不知道如何求∠1，或者没能意识到可以通过三角形三个内角之间的关系来求∠1，这就是程序性知识缺乏造成的卡点。解决这道题的程序性知识为：（1）识别出∠1处在直角三角形中。（2）识别出图中的55°角和∠1同处于同一个直角三角形中，它们的和为90°。（3）用90°减去55°得出∠1的数值。解决程序性知识缺乏造成的程序性卡点，需要学生掌握条理化解决问题的程序并实现深度的理解。

小学的数学问题，一般是结构良好的问题，结构良好的问题就是有明确的问题条件和标准化的解决方案。教师需要把解决问题的过程进行梳理，以帮助学生理顺逻辑思维，把解决问题的步骤条理化，让学生容易理解，习得解决问题的规则，并通过课堂练习，用这些规则解决问题。通过训练，规则变成了技能，也就解决了程序性卡点，掌握了解决此类问题的专门领域的程序性知识。学生课堂上的理解往往是浅层次的理解，规则和技能会随着时间迅速遗忘或者退化，为了实现深度的理解以及让程序性知识进入长时记忆，除了当堂的强化练习外，课堂上的表现性评估活动也很重要。所谓的表现性评估就是通过学生的表现（解释、阐明、表演等）实现对学生是否理解及理解程度的判断。通过表现性评估，能够使学生在加强对知识理解的同时加强选择性记忆，促进知识从工作记忆进入长时记忆，是从学生的角度解决程序性知识缺乏、激发学生学习兴趣的良好方法。课堂语言设计上，简单来说，就是如下的对话：“这个解题步骤你懂了吗？”“懂了。”“那好，讲给教师（同桌、小组成员）听。”教学设计，一定程度上是促进学生主动表现的设计。程序性卡点及课堂解决方案见表2。

三、策略性卡点

策略性卡点就是由于学生策略性知识缺乏所造成的对某个知识点的理解障碍。策略性知识是有关学习、思维和解决问题的一般策略的知识。策略性知识决定学习者学习能力的高低，学习能力高的学习者更加善于利用认知策略来帮助理解知识。特别是在面临着复杂问题的时候，采取有效的策略，可以迅速地抓住问题的本质，抓住问题解决的关键点，把复杂的问题转变为易于理解的简单问题，从而实现深度理解。

例如鸡兔同笼问题：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？

教师如果过于简单化处理，僵化地讲解，例如强调“设鸡求兔”或“设兔求鸡”，学生虽然不理解，但照搬解法，也能求解出来，但如果换一个问题情境，学生就有可能不知所措。对这道题的教学，追求理解才是有效的教学，策略性知识缺乏是学生解决这道复杂问题的障碍，不懂得抓住问题的关键点，把复杂的问题转换为简单问题，不能透过问题看本质，导致策略性卡点。解决这个卡点，教师要给学生提供一个理解问题的支架，也就是策略性知识。对这道题进行分析，教材给出的解法是：

（1）如果笼子里都是鸡，那么就有8×2=16只脚，这样就多出26-16=10只脚;

（2）一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有10÷2=5只兔;

（3）所以笼子里有3只鸡，5只兔。

对这种解法的理解，学生最不懂的地方是：为什么用10除以2，能得到兔的数量？这是这个问题的卡点，要理解这一点，教师需要给学生提供策略性知识。教师可转换成以下问题：小明家里养了几只兔子，每只兔子有4条腿，他要算家里兔子的腿总共有多少条，但不小心每只兔算少了两条腿，一共算少了10条腿，问小明家里养了多少只兔？这道题对小学四年级学生来说很简单，先做这题，再来讲鸡兔同笼“设鸡求兔”“设兔求鸡”的解法，学生就较为容易理解，这就是将复杂问题转换成简单问题的学习策略。

对于复杂问题的理解，教师通过提供策略性知识，帮助学生解决卡点是必要的。但由于复杂问题情境的多样性，需要进一步进行变式练习，巩固策略性知识的掌握，同时加深对此问题情境的理解，最终掌握这类问题的解决方法。对于复杂问题的变式练习，要掌握好情境改变的程度，设计两个变式的情境，一个跟原问题差别很小的问题情境，例如这道题改变动物的类别、数量、文句的表达方式，但基本的情境（两种动物一种四条腿一种两条腿、已知头和脚的数量）没有变，这种情境笔者称为“类情境”，原始题目的情境相应称为“原情境”;另外一种是解决问题的方法没有变，但情境有比较大的变化（例如不再是动物），这种情境笔者称为“它情境”。复杂问题的变式练习，要从原情境的练习，过渡到类情境的练习，再过渡到它情境的练习，这样的设计，才符合学生学习的最近发展区原理，才能使学生由浅到深、层层深入地理解知识的本质，最终达到对一类问题的完全洞悉。

注：本文系广东省教育科研“十三五”规划2018年度课题“基于深度学习的小学数学微课程设计研究”（课题批准号：2018YQJK013）研究成果。

责任编辑 罗 峰