关注探索性思维的培养

王思俭

摘要：“八省联考”数学卷第20题对学生的空间想象能力和符号抽象能力提出了较高的要求，尤其是考查了学生的探索性思维，包括类比转化、抽象建模、整体思考、归纳猜想、演绎证明等。数学探索性思维是左右脑并用的，兼顾直观与抽象、直觉与逻辑、归纳与演绎、类比与联想等思维方式的。在数学教学（尤其是解题教学）中培养探索性思维，要特别注意：既关注证明，又关注猜想;既关注运算，又关注思考;既关注动脑，又关注动手。

关键词：八省联考;数学卷;曲率问题;探索性思維

一、“八省联考”数学卷第20题及其考情分析

由教育部考试中心统一命制，江苏等八省市高三学生参加的2021年高考模拟演练的数学卷第20题如下：

北京大兴国际机场（如图1）的显著特点之一是各种弯曲空间的运用。刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容。用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×π3=π，故其总曲率为4π。

（1）求四棱锥的总曲率;

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2。证明：这类多面体的总曲率是常数。

（一）试题分析

本题以北京大兴国际机场的建设成就为实际应用背景，引入大学微分几何中的曲率概念，仅考查简单多面体的空间结构（如顶点、棱、面之间的数量关系）和平面多边形的内角和，而不涉及常见的平行、垂直和空间向量等的论证与计算，颇有新意。……