数形结合在数学教学中的渗透探析

马美霞 赵华新

基金项目：陕西省教育厅基金项目（19BZ031）;延安大学研究生教育教学改革项目。

作者简介：马美霞（1991-），女，汉族，陕西榆林人，延安大学，硕士研究生，研究方向为学科教学（数学）;赵华新（1964-），男，汉族，陕西延长人，延安大学教授，硕士生导师，研究方向为学科教学（数学）（通讯作者）。

摘 要：数形结合思想是一种以“形”直观表达数，以“数”抽象探究形的思想方法，其在高中数学课堂教学中的实践，是对复杂、抽象数学问题的简化与具体化，更是高中数学有效教学的重要手段和寻找解题思路的核心思想。细看近几年的高考试题，我们会发现高考对数学思想方法的考查比重在不断上升而且很多高考题看似异常复杂，但是运用数形结合的思想去审题和分析，就能少走很多弯路并能迅速找到解题思路进而求出解，为做其他题赢得了宝贵的时间。因此，纵观高中数学教学现状，具体阐述了数形结合思想在高中数学教学中的巧妙运用，希望能为高中数学教学高效高质的发展增砖添瓦。

关键词：高中数学;数形结合思想;数学教学

中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.15.070

1 以数思形，将抽象问题图形化、简单化

以形助教，就是以直观且通俗易懂的图形来为解决抽象难解的数学问题提供思路。美国数学家斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”在高中数学教材中，一些数量关系很抽象，拘囿于知识的抽象性，学生无法透过题面找到解题突破口，并理清思路去解题，但如果教师启发学生结合图形来进行分析，以定性的思维来观察图形的大小、形状和位置，并在画图示“意”中不断审视图形中的数量关系，就会直观、形象地将抽象思维提炼出来，也就是要把“数”对应的“形”找出来，将“数的问题”变成“图的问题”，那抽象的问题就迎刃而解了，且很快能完成题型的解答。因此，在解题过程中，我们要正确认识、掌握并运用以形助教进行解题。恰到好处地使用以形助教，不仅能有效避开冗长的推理计算，还可以让学生把抽象的知识领悟的更透彻，从而使教师的“教”与学生的“学”实现双赢。

例如，在教学“直线与圆锥曲线的位置关系”时，会涉及求弦长、弦中点、对称、公共点、参数的取值范围、最值等角度的问题，解答该类型题时，对于高考大题可以先运用转化思想将其转化为求直线方程与圆锥方程联立的方程组的解的问题进行求解即可。若是选择、填空类题型可以借助几何知识的应用，运用“数形结合”式解题方法进行求解。例1：以已知直线y=k（x+3）和双曲线x2-4y2=4有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）个。（A）1，（B）2，（C）3，（D）4的选择题为例，首先，我们画出双曲线的草图，仔细分析题干条件会发现已知直线是过定点（-3，0）的直线系，双曲线的渐近线方程为y=±12x，因此过（-3，0）点并和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k有两个不同的取值，另外一种情况，过（-3，0）点且和双曲线位置关系相切的直线与双曲线也有且仅有一个公共点，此时k可以取两个不同的值，所以此道选择题的正确答案是（D）。

再例如以求圆锥曲线弦的中点为例，除了可以联立方程利用根与系数的关系外，教师也可以利用变式教学模式，通过已知条件画出几何图形，指引学生对点的坐标进行假设，设出弦的两个端点，然后将所设端点代入圆锥曲线方程利用“点差法”作差分解因式，在作差中，利用已知的几何条件求出直线的斜率并与其联系起来求出所问，这样就可以降低解题难度和减少计算量。综上所述，数形结合思想的运用，不仅能让学生轻而易举解决此类题型，更能对其举一反三意识进行启发。

2 以形变数，将图形数量化

当然，在数学教学中，虽然图形能将抽象问题直观地呈现出来，但在定量方面，同样需要借助代数来计算，特别是对于复杂或难度较大的图形，让学生盲目观察是无法得出结论的。教师要引导学生正确绘制图形，并以定性和定量的双向思维来从已知图形挖掘出潜在的条件，进而找出图形中的数量关系，把模糊的图形澄清、量化，也就是要把“数”对应的“形”找出来，再从“形”中挖掘“隐含的数”，将“数的问题”变成“图的问题”，然后将“图的问题”与“隐含的数”相联系，最后将图形与计算结合起来，做到定性又定量，那抽象的问题就迎刃而解了，也能充分发挥以形变数中图形的判定作用。

例如，在讲解“已知圆上到定直线L的距离为某个定值的点的个数”类题型时，就可以将图形信息数量化，进行解决问题。例2：以求圆x2+y2+2x+4y-11=0上到直线L：x+y+1=0的距离为2的点共有几个？为例。解决这类题，首先我们应从平面几何知识分析出到定直线L：x+y+1=0的距离为2的点的轨迹是平行直线L的两条直线。从而问题就转化成判断这两条直线与已知圆的交点个数的问题了。分析到这里，我们就可以着手去做题。首先将已知圆的方程变形为标准方程的形式：（x+1）2+（y+2）=16，得出已知圆的圆心是C（-1，-2），半径r=4，而圆心到直线L的距离为2，由此可以断定平行于定直线L且距离为2的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，因此这两条直线与圆C共有3个交点，所以很快得出结论：圆x2+y2+2x+4y-11=0上到直线L：x+y+1=0的距离为2的点共有3个。这样先正确画出草图，再以定性和定量的双向思维模式观察图形，将图形与图形中隐含的数量关系找出来并联系起来分析題干，便很快能解决问题。

3 形数互变，不断提高学生自我直观想象素养

在一些高中数学问题中，单纯凭借前两种数形结合方式的某一种不能解决问题时，就要考虑把图形和数字进行转化，切实把握“数”与“形”的对应关系，以数思形，以形想数。

例如，在教学“求函数零点的个数”相关题型的解题方法时，教师要善于指引学生将导数和数形结合中形数互变的数学思想结合起来进行求解。解决这类问题的技巧是：（1）构造函数，并求其定义域，这是解决该类问题的关键环节;（2）求其导数，进而判断出其单调区间和极值点;（3）根据前两环节提炼出的信息及已知条件，画出函数草图;（4）以数思形，以形想数，提炼出题设中的隐含条件，大致确定图像与横轴的交点有几个，然后进行求解。当然，在借助数形结合思想分析题设条件和解题时，要注意以下三点：首先，教师要强调学生快速找到解题思路解决该类型题是以足够熟悉相关概念和运算的几何意义以及图形的代数特征为前提的，而且要以几何意义和代数意义双向思维来考量已知题目中的条件和结论;其次，要恰当假设参数，合理运用参数，把“数”对应的“形”找出来，从“形”中思考“数”，建立关系，做好数形转化;最后，不管是“有图考图”还是“无图考图”类题型，都需要正确确定参数的取值范围。

当然，教师在指引学生运用数形结合思想解决实际数学问题时，强调学生要有并且会审结论的思维意识。要明白得出结论或判断出结论的正确与否就是实现问题解决的终极目标，所以解数学题时的思维过程大多都是从题设问题找突破口，再进行思考，会审题就是在题设问题的启发下，挖掘出条件与题设问题之间的内在联系和转化规律，要善于从题设问题中捕捉解题信息，再联系图形转化题设问题，最终发现和确定解题方向，进而快速求解。

4 将数形结合思想融入学生自主探究空间

在高中数学教学中，教师应为学生创设良好的教学情境，引导学生用数形结合思想的视角对问题进行分析和思考，从而提高学生学习积极性和主动性。在此过程中，要让学生感受到“数学好玩”，打破原有对数学抽象、枯燥的固势思维，让学生在分析与思考中意识到生活中处处有数学。教师通过将数形结合思想巧妙地引入课堂或试题讲解中，激发学生对数学中形数互变的强烈求知欲，在这种专业训练潜移默化的熏陶下，使学生可以灵活运用数学思想方法，进行积极主动地解决数学问题。

例如，在教学“空间几何体”环节，教师可以利用智能教学助手，将生活中常见的三维或多维建筑和几何体呈现给学生，让学生以三视图与立体模型图的视角感受眼前的物体，进而直观、形象的了解物体的基本空间结构，这样不仅可以降低学习抽象几何体的难度，而且亲眼目睹后印象更深刻，更有助于学生自主探究性的学习。在计算空间几何体面积时，教师可以启发学生尝试展开空间几何体的表面和原立体几何体的各个面进行对比，看有没有新的发现进而引导学生联系立体和几何平面图进行计算，进而使学生在对空间构型的想象能力和表面积的计算能力方面一矢双穿。当然，教师也可以提示同学们挑选自己周围的一些熟悉的立体几何物体，进行计算并和同学们互相分享自己的解题思路和计算过程。

教师也可以围绕教学内容，制定一些以几何知识为背景的“微视频”，通过视频把一些较难、较复杂的知识点以几何意义的角度呈现给学生，让学生在观看了微视频及预习导学案的基础上，对课程内容进行自主学习，在自我理解下对图形和知识进行内化，并在探索、质疑中，为课堂教学的更有效开展提供良好的教学环境。微视频式课堂教学手段的引入，让教学内容以更直观、形象、生动的形式呈现在学生面前，给学生留下深刻的印象，能激发学生对接下来内容学习的那种强烈的求知欲，可以避免很多因教师传统僵硬的授课方法，导致学生将抽象、复杂的知识掌握的模棱两可，进而产生对数学的排斥和逆反心理的状况。例如，在“抛物线及其标准方程”的教学中，教师可以“数学好玩”式微视频的教学方式代替传统僵硬的教学模式，让学生通过微视频认识抛物线、了解抛物线，并能发现和找出生活中哪些熟悉的运动轨迹属于抛物线，在微视频的引导下，教师要趁热打铁进一步阐述并教授抛物线的定义、性质并及时巩固训练，并与前几课时学的椭圆进行对比，让学生对抛物线知识掌握的更透彻，提高对抛物线的解题运用能力。综上所述，微视频“新血液”的注入，不仅能为教师课堂教學顺利开展作好铺垫，而且能为学生课中、课后的学习和巩固奠定良好的基础。

在这种潜移默化的教学影响下，让学生意识到数形结合思想在学习数学中的重要性，进而带动学生将数形结合思想融入自身学习数学各类知识中，逐步提升自身解决数学问题的思维方式。

5 结束语

总之，在高中数学教学中，培养学生利用“数形结合”的思想解决问题是很有必要的，不仅可以使教学效果显著提升，还可以开拓学生解决相关数学问题的思维。因此，在实际教学中，教师要贯彻并落实教学要求，创新自身的教学模式和教学理念，给予数形结合思想足够的重视，结合学生的实际情况，加强对学生利用这种思想解决数学问题的训练与引导，进而让学生在学习中提高效率与水平。

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