再谈“PT 对称的非厄米体系的能谱性质”

闫茂玉，陈 兵

(山东科技大学 电子信息工程学院应用物理系，山东 青岛 266590)

众所周知, 量子力学的出发点是5个基本假设,即波函数公设、微观粒子动力学公设、算符公设、测量公设、全同粒子公设. 其中, 算符公设提出量子力学中的力学量必须用厄米算符表示, 这是因为厄米算符的本征值为实数, 是可观测量. 而且量子态在厄米哈密顿量中随时间的演化是幺正变换, 保证几率守恒律[1], 然而对于PT对称(宇称-时间反演对称)的非厄米系统也可以具有实数本征谱[2]. 文献[3]基于PT对称的一维紧束缚模型讨论了体系虚数势能对其能谱的影响, 但文章只讨论了偶数格点系统能谱变化的特点. 本文在文献[3]的基础上, 对PT 对称的非厄米体系的能谱性质重新进行了讨论.

1 PT对称的非厄米模型

为了文章的完整性, 我们从文献[3]建立的一维紧束缚模型出发重新进行问题的讨论. 系统的哈密顿量为

(1)

其中γ为虚数势的强度,t为相邻格点间的耦合强度的大小,N为系统格点的总数.

(3)

(4)

对应的本征值为

λk=-2tcosk

(5)

式中k=mπ/(N+1),m∈[1,N]表示系统的波矢.

下面讨论γ≠0时对系统能谱的影响. 设本征态的形式解为

(6)

将其代入哈密顿(1)的本征方程不难发现, 系统的本征值λk在形式上仍然保持式(5)的形式, 但波矢k则由下式确定

γ2sin [k(N-1)]+t2sin [k(N+1)]=0

(7)

2 PT对称系统能谱的讨论

如文献[2]所指出的,PT对称系统的能谱受虚数势γ的取值的影响. 主要表现为|γ|的取值存在临界值|γc|, 当|γ|<|γc|时系统的本征值存在N个纯实数解; 当γ=γc时系统的本征值出现合并; 当|γ|>|γc|时, 系统PT对称性出现破缺, 反映出来的结果是系统的本征值存在N-2个纯实……