形式化作为现代科学发现的秘密
——以虚构数问题为线索

高 松

一、虚构数及数域扩张

1901年，胡塞尔应大卫·希尔伯特（David Hilbert）之邀，在哥廷根数学协会作了两次报告，问题主要涉及算术中的虚构数及数域扩张。

众所周知，算术的原初领域是自然数。顾名思义，自然数就是最自然的数，它们作为数的地位无需辩护。自然数产生于我们的计数行为。一般的数概念就起源于我们在生活世界中的这种基本实践活动。按照胡塞尔的分析，具体的自然数是对“多少”（wieviel）这个问题的回答，是确定了的“多少”。①不同于通行的观念，胡塞尔认为0和1不属于最自然的数，因为严格来说它们恰恰是“多”的对立面，因而是对“wieviel”（如何多？）的负面回答，但这无法在“wieviel”的中文翻译“多少”中准确地体现出来。然而0和1与后文所要讨论的虚构数还不完全是一回事，对于这一点，本文不作深究。参见Edmund Husserl， Gesammelte Werke Band XII， Philosophie der Arithmetik，Mit ergänzenden Texten（ 1890—1901），Hrsg.von Lothar Eley， Den Haag：Martinus Nijhoff，1970，S.129ff。因此，凭借这一概念的本性（或者如下文所述，质料意义）就可以一劳永逸地划出一个由全体自然数构成的区域：自然数域。自然数域是最原初的数域，其元素数目虽然无限，但它却是封闭的。因为除了在回答“多少”这一问题时，或者说在计数时能数到的那些数之外，我们无法任意地往其中添加任何新的东西。一个对象到底属不属于自然数域，是完全确定的。

然而，随着自然数一起诞生的还有对它的运算操作，它是除计数之外获得自然数的另一种方法②参见Edmund Husserl， Gesammelte Werke Band XII， Philosophie der Arithmetik，Mit ergänzenden Texten（ 1890—1901），Hrsg.von Lothar Eley， Den Haag：Martinus Nijhoff，1970.， S.182。，并且正是运算才成就了算术这门科学。运算并非某种外在于自然数之本性、额外附加在自然数域上的东西，而是如胡塞尔所言，奠基于自然数的观念之中。……