不确定声-固耦合模型高频分析的随机统计能量方法

郝耀东 顾灿松 周焕阳 董俊红 李洪亮 邓江华

1. 天津大学机械工程学院，天津，300350 2. 中国汽车技术研究中心有限公司，天津，300300 3. 天津航天瑞莱科技有限公司，天津，300462

0 引言

车内声学性能是汽车舒适性最重要的组成部分之一。声学性能相关问题根据频率的高低可以分为低频问题(20～200 Hz)、中频问题(200～500 Hz)和高频问题(>500 Hz)[1]。不同于解决中低频问题的有限元方法和边界元方法，国际上普遍采用统计能量分析(statistical energy analysis,SEA)进行高频噪声问题的分析和计算[2]。

采用SEA进行车内噪声环境预测的方法已经非常成熟。早在1985年，国外学者就已经开始利用统计能量方法进行车内噪声环境的预测[3-4]。王震坡等[5]介绍了建立汽车SEA模型的方法和过程，并对两款车型驾驶舱的噪声特性进行了预测和对比。王登峰等[6]建立了某国产车型的SEA模型，分析预测了车内噪声的1/3倍频程频谱，并与试验结果对比。贺岩松等[7]研究了内损耗因子的变化对 SEA 子系统间能量传递的影响，使用3种不同的方案添加阻尼材料，预测了驾驶员头部声腔声压级的变化趋势。

在设计、制造、使用过程中，SEA参数的实际值与测试值往往存在一定差距，导致车内噪声预测存在较大误差。2010年以来，SEA的不确定分析受到了广泛的关注。宋海洋[8]在SEA框架下，利用区间分析方法对不确定结构的动响应预测和载荷识别进行了研究。FAHY等[9]以几何参数作为不确定变量，采用随机模型对板梁SEA系统的功率传递不确定性进行了研究。COTONI等[10]基于SEA理论提出了一种考虑正交高斯系综的振动能量总体方差预测方法。CHRISTEN等[11]采用傅里叶灵敏度分析技术，研究了模型和参数不确定性对SEA复合结构噪声衰减和传递的影响。

但是，现有的不确定SEA分析方法主要存在两点缺陷。①采用SEA参数作为不确定变量，不确定参数物理意义不明确，难以选择不确定模型和设定变化范围，且SEA参数之间存在耦合关系，限制了优化设计的实施。②采用数值方法进行灵敏度分析，虽然算法简单明了，但是仅适用于线性和轻度非线性计算，对于中度以上非线性问题的计算，将产生较大的误差。

本文提出了一种新的不确定声-固耦合模型高频分析的随机统计能量方法，选择材料物理参数作为不确定变量，采用随机不确定模型对这些变量的不确定性进行描述，通过解析方法计算了SEA损耗因子均值对不确定变量的灵敏度，推导了结构、声腔振动能量均值、标准差的计算方程，并且以一个板、声腔耦合的简单算例和一个发动机舱声腔、防火墙结构、车内声腔耦合的复杂算例验证了方法的有效性。

1 声-固耦合模型的统计能量方法

1.1 声-固耦合模型的统计能量方程

图1所示为包含一个结构子系统和一个声腔子系统的简单声-固耦合模型，结构子系统和声腔子系统分别用下标s和a表示。其中，Es、Ea分别表示结构和声腔子系统的振动能量，Mds、Mda分别表示结构和声腔子系统的模态密度。

声-固耦合系统在振动的过程中，子系统之间、子系统与外界环境之间均存在能量流动。令Pis、Pia分别表示外界环境能量流入结构、声腔子系统的功率，Psd、Pad分别表示结构、声腔子系统耗散至外界环境中的能量功率，Psa表示结构子系统传递至声腔子系统的能量功率，Pas表示声腔子系统传递至结构子系统的能量功率。

图1 声-固耦合基本模型Fig. 1 Acoustic-structural coupling basic model

在任一圆频率ω下，子系统的耗散功率可以表示为

(1)

式中，ηsd、ηad分别为结构和声腔子系统的阻尼损耗因子。

子系统间能量传递功率可以表示为

(2)

式中，ηsa、ηas分别为结构对声腔和声腔对结构的耦合损耗因子。

根据能量守恒定律，各子系统的输入功率与输出功率相等，其能量守恒方程可以表示为

(3)

当结构子系统为板结构时，其振动波包括弯曲波、压缩波和剪切波，分别用上标b、l和s表示。其中，只有弯曲波与声腔子系统存在能量传递。将式(1)、式(2)代入式(3)，并将结构子系统能量展开成弯曲、压缩和剪切3种振动模式，则声-固耦合系统的统计能量方程可以表示为

P=ωηE

(4)

其中，P为输入功率矩阵；E为子系统能量矩阵；η为损耗因子矩阵，并且有

(5)

(6)

(7)

(8)

1.2 声-固耦合模型SEA参数分析

对于统计能量模型，各子系统的阻尼损耗因子、耦合损耗因子、模态密度、输入功率等统称为SEA参数。

设板结构子系统的弹性模量、泊松比和密度分别为EYs、μs和ρs，声腔子系统的声速、密度分别为ca和ρa。板结构的周长为Ls、面积为Ss、厚度为ts，声腔的体积为Va。

对于板结构子系统，其弯曲刚度为

(9)

板结构弯曲波、压缩波和剪切波的波数表示为

(10)

(11)

(12)

板结构的模态密度可以通过下式计算：

(13)

(14)

(15)

对于声腔子系统，其波数和模态密度可以分别表示为

(16)

(17)

式中，La为声腔所有边的总长度；Sa为声腔表面积。

对于声-固耦合模型，结构弯曲波与声腔间的耦合损耗因子可以表示为

(18)

(19)

式中，σ为板和声腔间的辐射系数。

辐射系数σ的计算方法很多，本文根据标准EN12345-1对其进行计算。辐射系数的计算存在两个关键临界频率，板结构一阶模态f11和临界频率fc，其中

(20)

在常规零部件尺度的分析中，f11远远小于fc且当前计算频率f满足f11≤f≤fc，此时有

(21)

(22)

(23)

(24)

当前频率f和圆频率ω满足关系ω=2πf。

将式(9)～式(24)代入式(4)，即可求得子系统振动能量矩阵E，从而根据下式进一步求得板结构平均振动速度vs和声腔平均声压pa：

(25)

(26)

式中，ms为板结构质量。

2 声-固耦合模型的随机统计能量方法

2.1 随机统计能量方法理论

在声-固耦合模型中，材料和结构参数随制造、装配和环境条件的改变而改变，其不确定性无法避免。采用不确定模型可以对参数的不确定性进行描述，常用的不确定模型包括随机模型、区间模型、证据模型等。当已知不确定参数的概率分布时，采用随机模型对其进行描述可以获得最大的分析精度。在本文中，我们采用随机模型对不确定参数的不确定性进行描述。由于不确定参数的值主要与制造、装配有关，其概率密度函数往往呈现正态分布。设不确定参数bj(j=1,2,…,n，n为随机不确定参数个数)组成不确定参数向量b，Exp(bj)和Var(bj)分别表示bj的均值和方差，并且有

Exp(b)=(Exp(b1),Exp(b2),…,Exp(bn))

(27)

Var(b)=(Var(b1),Var(b2),…,Var(bn))

(28)

对于声-固耦合系统的基本统计能量方程，输入功率矩阵、能量矩阵和损耗因子矩阵均可以看作不确定参数向量b的函数，式(4)可以写成

P(b)=ωη(b)E(b)

(29)

将输入功率矩阵P(b)和损耗因子矩阵η(b)进行一阶泰勒级数展开，则有

(30)

(31)

令PC、ηC分别表示向量b取其均值Exp(b)时的输入功率矩阵和损耗因子矩阵，ΔP、Δη分别表示输入功率矩阵和损耗因子矩阵的摄动值，则PC、ηC、ΔP、Δη分别表示为

PC=P(b)|b=Exp(b)

(32)

ηC=η(b)|b=Exp(b)

(33)

(34)

(35)

将式(32)～式(35)代入式(29)，可得

ω(ηC+Δη)E=PC+ΔP

(36)

式(36)可以写作

(37)

将(ηC+Δη)-1采用纽曼级数展开，有

(38)

式中，γ为纽曼系数。

将式(38)代入式(37)，可得

(39)

式中，EC为统计能量法中能量矩阵E的均值；ΔE为能量矩阵的摄动值。

忽略高阶项，将式(39)简化为

(40)

(41)

将式(32)～式(35)代入式(41)，可得

(42)

(43)

根据式(42)，能量矩阵E的方差可以表示为

(44)

通过式(40)和式(44)即可对统计能量法中能量矩阵的均值和方差进行计算。

2.2 不确定参数的偏导数推导

(45)

(46)

计算损耗因子矩阵对结构弹性模量的灵敏度矩阵。根据式(9)，弯曲刚度对结构弹性模量的偏导数可以表示为

(47)

对式(10)～式(12)求偏导，可以得到结构波数对弹性模量的偏导数：

(48)

(49)

(50)

同理根据式(13)～式(15)可以求得模态密度对弹性模量的偏导数：

(51)

(52)

(53)

计算临界频率fc对弹性模量的偏导数：

(54)

根据式(21)，结构辐射系数对弹性模量的偏导数可以表示为

(55)

(56)

(57)

(58)

根据式(18)和式(19)，结构弯曲波与声腔间耦合损耗因子对结构弹性模量的偏导数可以表示为

(59)

(60)

综上，损耗因子矩阵η对结构弹性模量EYs的灵敏度矩阵可以表示为

(61)

同理，可以推导出η对结构泊松比μs、结构密度ρs、声腔声速ca、声腔密度ρa以及结构阻尼损耗因子ηsd和声腔阻尼损耗因子ηad的灵敏度矩阵。

3 随机统计能量方法基本流程

不确定声-固耦合模型高频分析的随机统计能量方法基本步骤如下。

(1)定义结构和声腔的材料、几何参数，包括结构系统的弹性模量、泊松比和密度，声腔系统的声速、密度，板结构的周长、面积、厚度，声腔体积等。

(2)根据式(9)～式(24)计算声-固耦合模型的SEA参数，包括波数、模态密度、阻尼损耗因子、耦合损耗因子等。

(3)根据式(4)～式(7)建立声-固耦合模型的统计能量方程，并计算结构和声腔子系统的振动能量。

(4)引入随机不确定模型对声-固耦合模型的不确定性进行描述，定义不确定参数及其均值和方差。

(5)根据式(61)及相关公式推导损耗因子矩阵对不确定参数的灵敏度矩阵。

(6)根据式(40)和式(44)计算子系统振动能量的均值和方差。

4 算例

4.1 平板和立方体声腔

本算例中的声-固耦合模型由一个立方体声腔和一个平板组成，如图2所示。立方体声腔的尺寸为1 m×1 m×1 m，平板尺寸为1 m×1 m。声腔由空气组成，声速ca=343 m/s，密度ρa=1.21 kg/m3。平板采用铝材料，其弹性模量Es=71 GPa，泊松比μs=0.3296，密度ρs=2700 kg/m3。平板结构和立方体声腔的阻尼损耗因子均设置为0.001。结构与声腔之间采用面连接，连接面积为1 m2。

图2 平板和立方体声腔模型Fig. 2 Plate and cube acoustic cavity model

将平板结构和立方体声腔各视为一个子系统，并加载全频段均为常数的输入功率。其中，结构子系统弯曲波输入功率为20 W，压缩波和剪切波输入功率均为10 W，声腔子系统输入功率为50 W。采用1/3倍频程的方式，计算200～10 000 Hz频率范围内子系统振动能量波动的均值和标准差。

根据声-固耦合模型统计能量方法，将材料和结构参数代入模型的统计能量方程中，就可以求得结构和声腔子系统的振动能量，如图3所示。

图3 结构和声腔子系统振动能量Fig.3 Vibration energy of structural and acoustic subsystems

表1 平板和立方体声腔模型中的不确定变量平均值和标准差Tab.1 Means and standard deviations of uncertain variables in models of plate and cube cavity

计算耦合损耗因子对各个不确定参数的灵敏度，部分计算结果如图4所示。耦合损耗因子与结构、声腔阻尼损耗因子间没有相应的数量关系，故其灵敏度在各个频率上均为0。由图4可知，增大结构材料弹性模量、泊松比以及声腔密度，结构与声腔间的耦合损耗因子将会变大；而增加结构材料密度，结构与声腔间的耦合损耗因子将会变小；增大声速，结构传递至声腔的耦合损耗因子将增大，而声腔传递至结构的耦合损耗因子将变小。

将耦合损耗因子对不确定参数的灵敏度组装成灵敏度矩阵，采用随机摄动方法计算子系统振动能量波动的标准差，计算结果如图5所示。为了验证计算结果的精度，采用蒙特卡罗方法对10 000个样本点进行了计算，统计了计算结果的标准差，并和本文提出的随机统计能量方法进行了对比。由图5可知，本文提出的随机统计能量方法具有较高的计算精度，对于本算例，计算精度达到95%以上。

图6绘制了子系统振动能量标准差占其平均值的百分比。由图5和图6可知，随着频率的增大，结构和声腔子系统振动能量逐渐减小，其波动标准差也随之减小。对于平板纵向波和剪切波，其摄动半径占中心值的百分比在不同频率保持不变，恒定为5%；对于平板弯曲波，这一结果则先增大，后减小，在6300 Hz以上则骤然增大，最大达到15%；对于声腔子系统，摄动半径占中心值的百分比则先较小后增大，在低频和高频最大均达到7%。

(a) 结构弹性模量灵敏度曲线

(b) 结构密度灵敏度曲线

(c) 结构泊松比灵敏度曲线

(d) 声腔声速灵敏度曲线

(e) 声腔密度灵敏度曲线

4.2 汽车发动机舱、防火墙和车内声腔

本算例中的模型包括汽车发动机舱、防火墙和车内声腔，发动机舱、防火墙和车内声腔、防火墙分别组成两个板、声腔连接，如图7所示。其中，发动机舱体积为1.10 m3，车内声腔体积为4.75 m3，防火墙面积为1.15 m2，厚度为1.2 mm。发动机舱和车内声腔均由空气组成，声速ca=343 m/s，密度ρa=1.21 kg/m3。防火墙为钢材料，其弹性模量Es=210 GPa，泊松比μs=0.33，密度ρs=7850 kg/m3。防火墙的阻尼损耗因子设置为0.02，发动机舱、车内声腔的阻尼损耗因子设置为0.01。防火墙与发动机舱、防火墙与车内声腔均采用面连接。

(a) 结构弯曲波振动能量标准差

(b) 声腔振动能量标准差图5 子系统振动能量标准差Fig.5 Standard deviation of vibration energy of subsystems

图6 子系统振动能量摄动半径占比Fig.6 Perturbed radius ratio of subsystem vibration energy

(a) 发动机舱、防火墙和车内声腔

(b) 发动机舱和防火墙图7 汽车发动机舱、防火墙和车内声腔模型Fig.7 Models of engine nacelle, firewall and interior acoustic cavity

发动机舱是汽车最重要的噪声源，发动机舱内产生的噪声会通过防火墙传递至车内声腔，因此，防火墙的隔声性能是整车最重要的噪声性能评价指标之一。在发动机舱处加载全频段1 W的输入功率，通过车内声腔的声压值或振动能量大小就可以评价处防火墙的隔声性能。计算采用1/3倍频程的方式，计算频率为400～8000 Hz。

根据随机统计能量方法基本流程，计算模型中的统计能量参数，其中，发动机舱和车内声腔的模态密度如图8所示，发动机舱、车内声腔和防火墙之间的耦合损耗因子如图9所示。

图8 发动机舱和车内声腔的模态密度Fig.8 Modal densities of engine nacelle and interior acoustic cavity

图9 发动机舱、车内声腔和防火墙间的耦合损耗因子Fig.9 Coupling loss factors of engine nacelle, firewall and interior acoustic cavity

根据统计能量方程计算车内声腔的振动能量，如图10所示。

图10 车内声腔振动能量均值Fig.10 Mean of vibrational energy of interior acoustic cavity

表2 发动机舱、防火墙和车内声腔模型中的不确定变量平均值和标准差Tab.2 Means and standard deviations of uncertain variables in models of engine nacelle, firewall and interior acoustic cavity

计算耦合损耗因子对各个不确定参数的灵敏度。将耦合损耗因子对不确定参数的灵敏度组装成灵敏度矩阵。采用随机摄动方法计算车内声腔振动能量的波动标准差，计算结果如图11所示。由图11可知，随着频率的增大，车内声腔振动能量逐渐减小，标准差也随之减小。

图11 车内声腔振动能量波动标准差Fig. 11 Standard deviation of vibrational energy of interior acoustic cavity

车内声腔噪声声压级均值和标准差如图12所示。需注意图中的声压级单位为dB，需要换算成Pa才能进行加减操作。

振动能量标准差占其均值的比例如图13所示。由图可知，虽然在高频段振动能量标准差较小，由于此时均值也较小，标准差占其均值的比例反而随着频率增大而增大。由于人的听觉与声压级大小之间并不是线性关系，在高频段，人耳对噪声更为敏感，因此，采用该方法进行振动能量标准差分析后，若能降低高频振动能量标准差，将显著改善车内噪声品质。

图12 车内声腔噪声声压级均值和标准差Fig.12 Mean and standard deviation of sound pressure level of interior acoustic cavity

图13 车内声腔振动能量标准差占幅值比例Fig.13 Ratio of vibration energy standard deviation to amplitude of interior acoustic cavity

5 结论

(1)本文提出了一种不确定声-固耦合模型高频分析的随机统计能量方法。在统计能量方程基础上，推导了不确定参数关于结构、声腔材料参数的偏导数方程，建立了子系统能量波动标准差与材料参数标准差之间的数量关系。随机统计能量方法可以用来计算不确定性条件下子系统能量的波动平均值和标准差，通过简单模型和汽车实际模型两个算例，验证了该方法的可用性和有效性。

(2)本文的研究表明，统计能量方法的不确定性可以采用解析的方法而非数值的方法进行研究，材料参数的不确定性对子系统能量波动的影响是存在确定数量关系的。虽然本文采用了随机模型进行材料参数不确定性的描述，但采用区间模型、证据模型同样可以应用该数量关系进行计算。

(3)本文选择结构和声腔材料参数而不是SEA参数作为不确定性参数，既使设计初期确定不确定性参数的均值和标准差变得更加直接和容易，又避免了SEA参数之间的相互关系对不确定性分析结果产生影响。

(4)本文提出的方法主要适用于不确定变量样本量较大、概率密度函数清晰的模型，概率密度函数不明确时，无法采用随机模型进行不确定性的描述，此时区间模型是较佳的替代方案。此外，本文提出的方法采用一阶泰勒展开式进行随机摄动分析，主要适用于轻度、中度非线性问题，在高度非线性问题的计算中可能会存在较大的误差。