关注数学合作建模，促进学生思维生长

朱胤

小组合作学习的教学方式已被教师接受与认可，但是教师在教学进度和教学效果的双重压力下，不敢放手让学生合作学习，从而影响了学生数学思维过程的展示，学生也没能很好地体会到合作学习对自己数学思维的发展和个人成长有哪些益处和作用，学生的学习很大程度上还停留在浅层次的学习.学生虽然能进行一定的探究学习，但是并没有真正认识到问题的本质，而是停留在问题的表面，对问题的思考缺少深度和广度.2011版初中数学新课标提出了六项关键能力，包括：数学运算能力、逻辑推理能力、直观想象能力、数学抽象能力、数学建模能力、数据分析能力，其中“数学建模能力”实际上是“分析和解决数学问题的能力”的具体化.有效解决目前学生在合作学习中出现的问题，让学生在平时的数学学习中探究问题本质，才能有效发展学生的思维.因此，笔者在平时的教学中以数学建模为抓手，把小组合作学习与数学建模相结合，实施“合作建模”的学习方式，即学生在教师的指导下将实际问题抽象为数学问题，再通过组内成员的互相交流探讨，相互启发，构造出相应的数学模型，使实际问题得以解决.合作建模既能适当降低学生建模的难度，又能较好地锻炼学生的合作能力和抽象能力，使学生的思维更灵活、深刻，更富有创造性，使学生的学习能力逐步提升.

活动一：回顾已学模型

已知：如图1，在Rt△ABC中，已知∠A=30°，你想到了什么？

已知：如图2，在Rt△DEF中，已知∠D=45°，你想到了什么？

生1：∠B=60°，BC∶AC∶AB=1∶3∶2.

生2：∠E=45°，EF∶DF∶DE=1∶1∶2.

【设计意图】以此环节引导学生写出直角三角形中的边角关系，熟悉两个特殊的直角三角形，为后续模型的建立做铺垫.

活动二：实验合作建模

1.将圖1中的三角形沿着点C折叠，折叠后点B落在线段AB的点E处.思考：你可以求出哪些线段的长度？

生3：将图1中的三角形沿着点C折叠后点B落在线段AB上，可知折痕CD⊥AB，原先含30°角的直角三角形被分割成两个小的含有30°角的直角三角形.若设BD长为a，则可知CD长为3a，BC长为2a，由折叠，可知ED=BD=a，EC=BC=2a，在Rt△ABC中，AC=23a，AD=3a，可算得AE=3a-a=2a.

2.用两张三角形纸片拼接三角形（可重叠）

操作：（1）将图3纸片沿着CD剪下，得到图5和图6.思考：若在图5、图6与图2中选取两个图形组合拼图，拼成一个三角形，你认为图2的三角形需满足什么条件？

（2）请先自己拼图，然后小组交流讨论，汇总能拼接出哪些三角形.

生4：因为要拼成一个三角形，因此三个直角三角形中要有相等的边且相等的边还应是直角的一条边，图5、图6中满足条件的是边CD，图2中的直角边是DF和EF，则需DF=EF=CD.

生5：我们小组通过交流讨论后得到6个不同的拼接三角形，如图7.

【设计意图】通过实验活动，学生动手操作，小组内同学交流讨论和思考，在合作中构建出6个三角形.学生感悟到数学建模思想，进而发展数学抽象思维，提升逻辑推理能力.

活动三：模型检验运用

【设计意图】此环节中，学生需熟记基本模型并在运动的过程中发现基本模型，再运用已有知识解决问题.学生的知识得到巩固，解题思路更加清晰，解题方法更加熟练且多样，学生的思维得到有效拓展.

[教学反思]

一、借助同伴力量，提升思维的活跃度

通过调查发现，学生在学习上遇到问题时多半采用的方法是问同学，或者是和同学讨论，或者干脆放弃，因此合作建模的学习方式正好符合学生的学习习惯，且可以避免学生无故放弃.课堂上，有些学生语言条理清晰，思维活跃，能快速为其他学生提供解题思路和建议.而当其他学生学习遇到困难时，他们也会主动询问这样的同学，借助同伴的鼓励、解说、帮助，继续研究后续问题.通过合作建模的学习方式，学生能活跃思维，能在课堂中对问题进行合理分析，持续思考，深入探究，追寻本质，积极主动地参与到数学学习中来，大大提升数学学习思维的活跃度.

二、创设系列实验，提升思维的深刻性

对很多学生来说，数学学习本身枯燥乏味，甚至有的学生不擅长学习数学，易产生抵触心理，但借助数学实验，学生能动手操作实践，亲自参与到问题之中，了解问题的产生过程，并在小组合力下积极分析问题，对问题进行归纳总结，从而建立解决问题的数学模型，还能利用得到的数学模型有效迁移解决其他问题.在这样的课堂上，每个学生都能经历亲自动手、独立思考、合作交流、归纳总结、展示模型、运用模型的过程.在合作建模学习的过程中，学生能抓住问题的本质，深入思考问题，归纳出六个数学模型，并运用模型解决一般性的问题，使思维的深度和广度得到有效提升.

三、检验运用模型，提升思维的灵活性

学生在合作建模学习方式下能对问题从不同的角度进行分析，利用多种方法解决同一问题.在解决问题的过程中，学生经历从分析到综合、从综合到分析的过程，全面灵活地进行综合分析，让问题的解决更加全面，还能够有效对知识进行迁移，从一般问题抽象出各种基本模型，提升运用模型的自觉性.在思维发散方面，学生对问题有不同角度的分析，能获得多样的结论，对问题的思考也很精细，不仅全面考虑问题，而且深入问题的细节，大大增强思维灵活性.

四、独立合作并存，提升思维的独创性

学生的学习并不是一味地重复性学习，需要学生有一定的创新，这样的学习才是有效的学习，才是真正的学习.合作建模方式下的学习，有利于学生之间思维的碰撞，有利于启发学生思维的创新.但是合作建模学习方式不是单指合作，而是指在有充分独立思考下的合作，只有进行了充分独立的思考，才有可能思考出与众不同的解决问题的方法，合作只是对独立思考后的结果进行优化、补充和完善，否则就只能人云亦云.课堂中教师应给予学生充分的独立思考时间，在此基础上再合作建模，这符合发展思维独创性的要求，学生才能有创新的源泉，学生思维的独创性才会有效提升.