概率论教学中如何培养学生的数学思维

李松 李应祥

【摘要】概率论是高等数学教学中非常重要的一个教学内容，与其他数学知识点不同的是，概率论所研究的内容不是确定性现象，而是随机现象，因此对于学生而言具有一定的理解难度.现代教育强调发展学生的综合能力，培养学生的综合性思维，在高职数学概率论教学中同样也需要重视对学生数学思维的培养，启发学生多元化的数学思维，提升学生的数学素养和数学能力.基于此，本文对概率论教学中培养学生数学思维的途径进行分析探讨，希望能够为相关教育工作者提供教学参考.

【关键词】概率论;高职数学;数学思维;培养

高职院校中的教学较为侧重专业实践，但作为一门必不可少的公共基础课程，学生应该认识到概率论课程的重要性，其研究的虽然是随机现象，但在随机现象中蕴含的是有关统计学的本质规律.学习概率论不仅可以巩固学生的数学知识基础，还能够强化学生的数学思维，促使学生灵活运用概率论的思维方式解决各种数学问题以及实际问题，为学生构建完善的数学知识体系.教师通过对概率论思维方式的培养和提升，还可以为高职院校学生的专业学习奠定基础，使学生获得更加全面的发展.

一、概率论教学中数学思维的表现特征

概率论中对随机现象的判断和计算与我们的生活息息相关.概率论蕴含的数学思维十分广泛，如随机性思维、化零为整思维、概率论思维、辩证思维、发散思维、整合思维等，而这些思维的特征主要表现为以下几个方面.第一，具有随机性.概率论的内容与其他知识点有一定的差异性，即概率论研究的是随机现象的规律，而其他学科研究的是已经确定的事物规律，这一本质从根本上决定了概率论数学思维中的随机性、偶然性.第二，具有问题性.在概率论教学中问题是持续出现的，当概率问题出现之后，其内涵会指向问题的分析和解答过程，最终得到的结果是思维问题性的体现.第三，具有概括性.概率论探讨研究的虽然是随机现象，但无论是哪一种数学思维，在概率论中的运用都是为了找到事物内部的根本规律和数量关系.在概率论的实践教学中，若想培养学生的数学思维，教师必须使学生清楚概率论中数学思维的主要特征，并在此基础上使学生明确思维能力提升的主要方向.

二、概率论中培养学生数学思维的方式

（一）充分调动学生对概率论的学习兴趣

都说兴趣是学生最好的老师，无论在哪一学科的学习中，兴趣都是学生积极学习的驱动力.因此，在高职院校概率论教学中要想培养学生的数学思维，教师就应充分调动学生对概率论学习的积极性，只有学生以端正的学习态度对待概率论的学习，才能够真正落实数学思维的有效培养.首先，数学教师应做好课程的导入教学.作为概率论课程的初始，利用趣味性的故事或例子可以吸引学生对新知识的注意力，并且高职院校中一部分学生的数学基础不是很好，针对概率论的学习会表现出一些畏惧感，这时引用相关的案例能够降低学生对概率学习的畏难情绪，促使学生接受并主动学习概率论知识，为数学思维的培养奠定基础.其次，学生对概率论的学习兴趣还取决于教师对课程的合理安排以及对教学方式的合理运用.在教学中，教师应该结合学生的基础对整体课程进行规范性的整合，满足学生的认知要求，当学生在数学学习中获得充分的满足感和成就感时，其对数学知识的学习兴趣自然而然就会得到提升.另外，教师对于教学方式的选择应具有创新性，能够让学生参与其中，使学生增强课堂活跃性，进而提升数学思维的活力和灵活性.

（二）利用对立事件培养发散思维

在概率论教学中，对立事件的概率计算是其中重要的组成部分.对立事件指的是某一事件的发生概率与其不能同时发生的逆事件的发生概率之间的数量关系，其概率计算公式为P（A）+P（A-）=1.在此基础上可以对公式进行进一步的变形，即P（A）=1-P（A-），P（A-）=1-P（A）.对立事件概率计算公式的变形说明，某一事件的发生概率与其逆事件发生概率总和为固定值，当该事件的发生概率难以从已知条件中明确时，则可以对其逆事件的发生概率进行计算，然后根据二者的数量关系计算得出事件的发生概率.这一解题思维与数学思维中的发散思维以及逆向思维具有相似性，即在解题过程中遇到不能完全确定的数据或条件时，可以从其逆向角度思考，从而在不同思路的探索中精准找到最恰当的解题策略，更高效地解决问题.因此，在对立事件概率计算教学中，数学教师应加强对其背后深层含义的发掘，不仅要教给学生如何灵活运用计算公式解决概率问题，还要让学生形成逆向思考的意识，从不同方面、不同角度对问题进行探究，善于采用活跃思维分析不同类型的题目，促使学生的发散思维能力得以提升.此外，概率论中提到的对立事件在现实生活中同样具有较为广泛的体现.人们在解决此类问题时同样可以采用多角度思考的方式，探究不同的解决途径，这样既可以实现思维的发散性启发，又可以在分析过程中获得更多的能力.利用對立事件可以有效培养学生的数学发散思维，促进学生的全面发展.

（三）利用随机现象的本质培养随机性思维

高职阶段学习的概率论与高中时期学习的概率知识相比，其深度和广度都有所提升，并且高等数学中的概率论教学与微积分、线性代数等知识有较强的联系，对学生而言学习难度更高.因此，数学教师在教学过程中应让学生清晰地明确概率论研究随机现象的本质，在教学过程中全程灌输随机性思维，并指导学生用随机性思维分析问题和解决问题.在以往的数学知识学习中，问题的答案都是固定且唯一的，在这种确定事件下，学生通常会形成固定思维，即认为所有的问题都有明确的答案，但实际上许多问题都不是单一性的，而是充满偶然性的，如果还以之前的数学观念去看待这些问题，就会出现理解偏差，对问题的解决造成制约性影响.面对不确定的随机现象，其影响因素也是不确定的，多种因素的共同作用使其概率性表现出不确定的差异性.在数学研究中对此类概率进行推算通常需要进行大量重复性的实验.概率论教学中有一个非常经典的实验案例就是“抛硬币”，随意抛硬币后一般只有两种结果，非正即反，除了这两种情况之外没有其他可能，但在抛起落地之前谁都不能确切地说出到底是哪一面向上.这时就出现了概率问题，当多次重复地对硬币进行抛掷并记录其结果后，可以从数据中发现其正面和反面的出现概率都接近50%.此结果说明即使不确定现象的发生结果是无法提前预知的，但当其经过大量随机实验后就会呈现出一定的必然性概率结果.无论是多么随机的事件都可以通过相关的计算和实验来确定其内部存在的必然性，因此在数学学科的学习过程中，学生应掌握随机性的思维意识，对待各种数学问题可以从随机角度进行思考，充分了解其表面的偶然规律，发掘其内在的必然结果.

（四）利用全概率公式培养化整为零思维

在概率论的所有计算公式中，全概率公式是比较重要的计算公式之一，其具体指的是：设事件组A1，A2，…，An，…为样本空间Ω的一个完备事件组，且P（Ai）>0，i=1，2，…，n，…，则对任何事件B，有P（B）=∑+∞i=1P（Ai）P（BAi），这一公式的适用范围是随机试验的过程具有并列结构特征，其本质思想是把选取的样本空间按照一定的划分标准将复杂概率事件分为不同的互不相容的事件，若干划分事件又组成一个完整的和事件，再根据概率的加法公式对整个复杂事件的概率进行计算.由全概率公式的定理和基本思想可以明确，其是对整体和部分观念的有机融合应用，与化整为零的思维方式比较相似.因此，在概率论的教学过程中，教师应有意识地教授学生化整为零思维，让学生充分理解整体和部分的互相转化关系，从整体出发对部分知识进行整合，从部分出发对整体知识进行细化，无论从宏观还是从微观都实现对知识内容的完整把握.在数学学科的学习中经常会遇到综合性的问题，将各种知识点融合在一起，其理解难度以及解答难度都相对较高，对学生而言具有一定的学习难度，而通过引导学生形成化整为零的思维，可以简化学生的问题解决过程，促使学生将复杂问题进行分解细化，逐层或逐步解决部分问题，最终完成对整个问题的解答，有效拓展学生的数学思维能力.

（五）利用概率论思维培养批判性思維

在概率论教学中，教师可以基于概率论思维培养学生的批判性思维，因为概率论思维具有问题性、概括性等特征.在求解概率论问题时，学生通常要进行大量的试验和计算，对结果的判断常常需要大量的辩证思考，这个过程使学生的思维得到训练，进而促使其形成批判性思维.批判性思维指的是以疑问、批判的态度面对各种问题，脱离既定思想的限制，对得到的条件和结果不断提出质疑，并在此基础上对其进行批判性评价，最终得出相应的结果.批判性思维需要学生具有独立思考的个体意识，能够从不同角度给予问题不一样的见解.在概率论教学中，教师以概率论思维为基础进行教学可以促使学生不断对所获得的随机现象结果进行批判性思考并对结果的真实性进行质疑，从而使学生在不断地质疑过程中实现思维的拓展，在思考的过程中实现数学能力的发展和创新.培养批判性思维不仅可以让学生形成问题意识，为学生重构数学知识体系，还能激发学生思考的积极性，启发学生的多项思维能力，提高学生的数学综合能力，增强学生对问题思考的深入性.

三、结束语

综上所述，概率论是高职院校学生必须学习的重要基础课程，既是学生学习微积分、线性代数等数学知识的基础和拓展，也是学生解决实际生活中随机问题的关键.概率论涵盖多种思维方式，教师对教学观念和教学方式的合理应用可调动学生的学习积极性，为学生数学思维的培养奠定坚实的基础.教师应该根据概率论的教学特征以及学生的实际情况对概率论课程进行合理整合，利用对立事件公式培养学生的数学发散思维，利用随机现象本质培养学生的随机性思维，借助全概率公式培养学生的化整为零思维，此外，利用概率论思维也可以培养学生的批判性思维，使其积极探究概率论学科的内涵，全面提高学生的数学思维.

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