勒让德方程本征值的确定

杨守文， 王海军

(吉林大学 物理学院，长春130012)

1 引 言

针对勒让德方程的求解，大部分数学物理方法教材，通常采用常点邻域的级数解法进行求解[1-4]，然后针对勒让德多项式的性质进行深入学习[5-6].然而，勒让德方程中的本征值λ一般直接写成l(l+1)形式，即

在求解过程中，对本征值λ为什么可以写成l(l+1)的形式，而不写成其他的表示形式，大部分教材没有给出详细的说明.每次学习到这部分内容，学生都会对此产生疑问：为什么本征值λ可以直接写成l(l+1)的这种特殊的形式？

针对这个问题，本文对勒让德方程本征值λ的表示形式进行深入的讨论.

2 勒让德方程的级数解法

勒让德本征方程的一般形式为

(1)

其中-1≤x≤1，λ为本征值.

根据常点邻域的级数解法，勒让德方程的解y(x)可以在x=0的邻域内进行泰勒级数展开

(2)

将(2)式代入(1)式，整理可得

上式的左边是一个关于x的多项式.要保证对于任意的x，上式恒成立，必须要求每一项xn(n=0，1，2，…)的系数均为零.因此，通过数学归纳法，可以得到系数的递推公式

(3)

由递推公式(3)可知，c2k(k=1，2，…)最终可用c0表示，c2k+1(k=1，2，…)最终可用c1表示.因此，可以通过(3)式，可以推导出偶次幂项系数c2k和c0的关系

(4)

以及奇次幂项系数c2k+1和c1的关系

因此，勒让德方程的泰勒级数解(2)可以分成偶次幂项之和与奇次幂项之和

y(x)=c0y0(x)+c1y1(x)，

其中

y0(x)和y1(x)在定义域-1≤x≤1均是无穷级数，因此必须判断它们在定义域内的收敛性.与大部分教材类似，很容易判断出y0(±1)和y1(±1)是发散的，关于无穷级数的收敛性此处不再赘述.要找的勒让德方程的解必……