关于三角函数恒等变换及三角函数最值求解的思路分析

季克程

【摘要】三角函数定理的推导公式有很多，且关于三角函数的题型更是层出不穷，那么在解三角函数恒等变换及求解三角函数最值的问题时，最重要的就是正确地把握住解题的方向，有目的地对三角函数进行变换，从而优化求解过程.本文将对三角函数恒等变换及三角函数最值问题等题型进行分析.

【关键词】三角函数;恒等变换;最值问题

一、三角函数恒等变换题型解题思路

公式法直接求解、三角结构变换、消元变换等，都是解决三角函数恒等变换过程中的重要思想方法，相比利用三角函数的公式和定理解题而言，更为抽象一些.

1.1 公式法

运用公式解题是三角函数中最简单，也是最直接的一种解题思路，然而很多时候我们都无法直接运用公式进行三角函数的恒等变换，那么我们就要灵活地逆用三角函数公式，将题目有效化简.这就要求同学们对三角函数的公式十分熟悉，并且有运用和逆用三角函数公式的意识.

例1 求（3tan 12°-3）÷sin 12°÷（4cos212°-2）的值.

分析 在求题目中三角函数的值时，首先，我们要观察式子的角度，发现角度都为12°，不需要进行角之间的变化.其次，我们要观察式子中的三角名称，会发现式子中既有tan，sin，也有cos，那么此时，我们就要采用公式法，巧妙地逆用三角函数公式中的二倍角公式、差角公式、再次逆用二倍角公式将目标式恒等变换，然后求出式子的值.

解 （3tan 12°-3）÷sin 12°÷（4cos212°-2）

=3sin 12°cos 12°-3·1sin 12°÷（4cos212°-2）

=（3sin 12°-3cos 12°）÷[（2sin 12°·cos 12°）·（2cos212°-1）]

=2312sin 12°-cos 12°·32÷（sin 24°·cos 24°）（逆用二倍角公式）

=23（sin 12°·cos 60°-cos 12°·sin 60°）÷（sin 24°·cos 24°）

=43sin[12°-60°）÷[2（sin 24°·cos 24°）]（逆用差角公式）

=43sin （-48°）÷sin 48° （逆用二倍角公式）

=-43.

1.2 结构变换法

变换三角函数式的结构主要是利用降幂或者升幂，以及常数代换等方法，改变题干中不熟悉的三角结构，进而变化为我们熟知的或题干中已知的三角结构.变换三角函数式的结构是解决三角恒等变换题型时比较抽象的一种数学思想方法，这对同学们掌握三角函数中各类结构的要求比较高.

例2 已知cos（α-β）=3sin（α+β），求14sin22α+sin2β+cos4α的值.

分析 通过观察题干，我们可以发现题干中已知条件和要求的目标式子都很复杂，角比较多、幂也各不相同，为了方便我们解题，我们必须要对题干中的式子进行结构变换.

解 14sin22α+sin2β+cos4α

=14sin22α+1-cos 2β2+1+cos 2α22

=14（sin22α+cos22α）+12+14+12cos 2α-cos 2β

=1-sin（α+β）sin（α-β）.

∵cos（α-β）=3sin（α+β），

∴sin（α+β）sin（α-β）=13，

∴原式=1-13=23.

1.3 消元法

消元法是高中數学中最重要的一种策略，它可以被运用在各个类型的数学题目中，当然三角函数恒等变换这一题型也可以巧妙利用它.消元法的解题步骤主要是：首先确定所需要使用的“一”，一般我们会选择运算量大的函数解析式;然后进行归“一”，使得其他的解析式都用这个“一”来表示;最后“消元”，将所有数据代入原式计算.

例3 设α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin 2α-2sin 2β=0，求证：α+2β=π2.

分析 在本题中，想要求证α+2β=π2，就需要证明sin （α+2β）=0，或者cos （α+2β）=1.知道这一点之后，我们就可以利用消元法，想办法将这两个式子中的一个引导出来，从而求证目标式子.

解 ∵3sin2α+2sin2β=1，

∴3sin2α=1-2sin2β=cos 2β.

∵3sin 2α-2sin 2β=0，

∴3sin α·cos α=sin 2β.

∵sin22β+cos22β=1，

∴9sin4α+9sin2α·cos2α=1，

∴9sin2α·（sin2α+cos2α）=1.

∴9sin2α=1，sin2α=19.

∵0<α<π2，

∴sin α>0，∴sin α=13.

∴sin（α+2β）=sin α·cos 2β+cos α·sin 2β

=sin α·3sin2α+cos α·3sin α·cos α

=3sin α·sin2α+cos2α

=3sin α=3×13=1.

∵0<β<π2，

∴0<α+2β<3π2，

∴α+2β=π2.

二、三角函数最值问题的求解思路

三角函数的内容涉及范围广，知识点众多，可采取的计算化简方法更是多种多样，对解决各类问题有迹可循，具有很强的技巧性.除了三角函数恒等变换题型外，最值问题求解是三角函数教学中的重点和难点，是高考的着重突破点，占有很大的比重，下面以三类常见题型为例.

2.1 y=asin x+bccos x+d型

这种类型题的主要特征是以分式的形式呈现，利用函数的辅助角公式求解，通过去分母的手段将分式转化，将三角函数与常数分离，利用y=a2+b2·sin ωx+φ其中tan φ=ba，根据正弦函数的值域得到新的不等式，求解函数的取值范围.

例1 求函数y=3-cos x2+sin x的值域.

分析 通过对已知函数进行观察分析，可知该函数符合这种类型的应用方法，首先去分母，将y=3-cos x2+sin x转化为ysin x+cos x=3-2y，根据y=a2+b2sin（ωx+φ），得到sin（x+φ）=3-2yy2+1，在基于正弦函数的值域下，得到3y2-12y+8≤0，计算可得y的取值范围.

解 ∵y=3-cos x2+sin x，

∴y2+sin x=3-cos x，

2y+ysin x=3-cos x，

ysin x+cos x=3-2y，

转化为sin（x+φ）=3-2yy2+1.

又∵sin（x+φ）≤1，

∴3-2yy2+1≤1，

3-2y≤y2+1，

3y2-12y+8≤0，

6-233≤y≤6+233，

∴所求值域是6-233，6+233.

2.2 y=asin（ωx）+bcos（ωx）型

對于该种类型的题来说，根本在于辅助角公式的应用，将已知函数转化为y= a2+b2sin（ωx+φ）其中tan φ=ba，然后根据正弦函数的值域得出结果.

例2 已知函数f（x）=acos（x+θ）+b的最小值是-7，最大值为1，求函数g（x）=asin（x+θ）+bcos（x+θ）的最大值.

分析 本题中函数符合这种类型题的应用条件，根据余弦函数的值域，和已知函数的两个最值，可以通过转化得到与未知参数相关的等式，求解代入原式，得到g（x）=5sin（x+θ+φ），根据正弦函数的取值就可以得到目标函数的最值.

解 ∵-1≤cos（x+θ）≤1，

且f（x）=acos（x+θ）+b的最小值是-7，最大值为1，

∴b-|a|=-7，b+|a|=1.

解得a=±4，b=-3，

∴g（x）=asin（x+θ）+bcos（x+θ）

=a2+b2sin（x+θ+φ）

=5sin（x+θ+φ）.

∵-1≤sin（x+θ+φ）≤1，

∴g（x）max=5.

2.3 y=asin x+b或y=acos x+b（a≠0）型

该种类型题的解题关键在于化简、变形，利用正余弦函数的有界性，最终将已知函数转化为y=asin x+b或y=acos x+b（a≠0）的形式，根据正余弦的取值范围|sin x|≤1和|cos x|≤1，确定函数的最小值为b-|a|，最大值为b+|a|.

例3 求函数y=cosπ3+2xsin π3-2x的最值.

分析 已知函数是正弦、余弦函数的乘积式，可以化为y=asin x+b或y=acos x+b的形式，因此在本题中首先将原函数化简为y=-12sin 4x+34，然后结合正弦函数的值域是[-1，1]，得到化简后函数的最值，即最大值为3+24，最小值为3-24.

解 ∵cos（A+B）=cos Acos B-sin Asin B，

sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B，

∴y=cosπ3+2xsin π3-2x

=12cos 2x-32sin 2x32cos 2x-12sin 2x

=34cos22x-34sin 2xcos 2x+34sin22x-14sin 2xcos 2x

=-12sin 4x+34，

∵-1≤sin 4x≤1，

∴ymax=3+24，

ymin=3-24.

对三角函数的恒等变换以及最值问题的求解考查的是学生对函数的观察分析，通过匹配最简便的方法，合理利用数学思想进行解题，将重点与难点有效解决.学生在本章节知识的应用中，要学会知识的融合和问题的简化，在问题中学习，在学习中寻找方法，不拘泥于现实的问题与方法，学会创新，学会举一反三，对三角函数的知识做到灵活运用，不论是求最值还是化简，或者与几何结合的问题，最好都能采用最简便的方式解决问题.