“技”由“道”生　学在悟“道”

钱德春

摘要

“道”是事物的根本，“技”是“道”的外在表现。数学中的“道”就是数学的本质、基本原理、通性通法。数学学习离不开技能与技巧，但关键在于悟“道”。“道”能生技，也能生巧，否则“技”就是无本之源。“道”需要教师的点拨引导，需要学习者主动感悟与反思、完善与升华。掌握了数学本质，“技”自然而生，从而达到“大道于心”的境界。

关键词

技 道 规律 基本原理 通性通法

一、问题提出

最近看到一段关于“分母有理化”的教学短视频，内容是如何将[432+3+7]分母有理化。大致过程如下：

师：（一段精彩的开场白）我们来看，4[3]=2×2×[3]，而22+（[3]）2=（[7]）2，因此，原式=[22+（3）2+43-（7）22+3+7=（2+3）2-（7）22+3+7]=[（2+3+7）（2+3-7）2+3+7=2+3-7]。

教者根据[43]与分母的特殊关系，利用逆向思维顺利解题，看上去方法非常巧妙。最后，教者画龙点睛：“拿到题目不要轻言放弃。有的人动不动就抱怨自己不行，或者没有靠山。我们应该自信——自己就是靠山。”视频中，教者眉飞色舞、表情丰富，语言幽默诙谐，让人看了大呼过瘾，相信听者一定会被这位教师夸张的表演深深吸引。

看完视频后，笔者不禁产生几个疑问：分母[2+3+7]中22+（[3]）2恰好等于[（7）2]，这个问题的设置是不是巧合？由此得到的解法是偶然的还是具有一般性的？若利用加法交换律、结合律将[2+3+7]变为[2+（3+7）]或[3+（2+7）]，该方法还行得通吗？如果将[432+3+7]换成形如[13+5-1]的式子，教者的方法还同样有效吗？初中数学中对分母有理化的教学要求如何？

显然，该题本身具有特殊性。一是分母中各项之间具有（[a]）2+（[b]）2=（[c]）2的关系;二是解题方法不具有一般性，运用了特殊的技巧。笔者觉得这种视频中看不中用，如此讲课可能会将学生引入歧途。……