单摆小球在三维空间中运动规律研究

姜付锦 李 都 刘 颖

(湖北省武汉市黄陂区第一中学，湖北 武汉 430300)

在高中阶段,单摆小球在二维空间中的运动形式主要有两类:单摆运动(简谐运动)和圆锥摆运动(匀速圆周运动)．小球开始做圆锥摆运动,若小球的初速度有一个微扰,则小球会不会再次达到匀速圆周运动?[1][2]小球会不会做椭圆摆运动?[3]研究表明小球既不做匀速圆周运动,也不做椭圆摆运动,而是一种复杂的三维曲线运动．

1 什么是椭圆摆运动?

文献[4-5]已明确指出: 如图1所示,一个质量为m1、半径为R的半球形光滑凹槽放置在光滑水平上,再将一个质量为m2的质点置于凹槽内角度为θ处,质点由静止状态自由下滑,可以证明,质点相对地面静止参考系的运动轨迹是椭圆线,故该系统是一种典型的椭圆摆系统．若半球形光滑凹槽固定,则质点的运动轨迹不可能是椭圆摆．

图1 椭圆摆系统

2 为什么小球不能再次做匀速圆周运动?

图2

(1)

相对于竖直轴的角动量守恒

mαv0Lsinθ=mvmLsinθm.

(2)

联立(1)(2)两式可求得

(3)

通过研究可以发现,若α=1,则小球做匀速圆周运动;若α>1,则(3)式求的是小球运动过程中最小速度;若α<1,则(3)式求的小球运动过程中最大速度;当α≠1时,则小球将在半径为L的球面上做复杂的周期性运动,它不可能做匀速圆周运动．

3 小球的动力学微分方程组

图3 建立球坐标系

通过小球的受力分析可知

由以上两式求得

(4)

(5)

3.1 小球在经线方向上微扰周期

小球对竖直轴角动量守恒,则有

(6)

(6)式中L为小球的角动量,θ0为开始时绳子与Z轴的夹角,ω0为小球匀速圆周运动的角速度, 联立(4)、(6)两式得

(7)

设θ=θ0+δ,δ→0,π/2<θ0<π,则有

(8)

联立(7)、(8)两式得

(9)

将(9)式整理后得

(10)

将sin-3(θ0+δ)展开为泰勒级数形式,并舍去二阶及以上的小……