基于解题认知循环系统的数学思维的培养
——以2020 年高考全国卷3 第17 题为例

刘杨霞

(湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411201)

引言

解题是学生利用原有认知经验,对问题进行表征和模式识别,然后将问题迁移,最终获得解决方案或问题答案的信息加工行为,其认知过程的各个阶段交互影响,形成一个解题认知循环系统[1](如图1 所示)。

图1

解题认知循环系统包含多种思维活动,根据解题认知循环系统探究数学思维培养模式是至关重要的。

一、深刻性思维的培养---对问题进行深层表征,揭示其本质

深刻性思维指在数学思维活动中的抽象深度。依据解题认知循环系统,其培养需对问题进行深层表征,即从深层去理解题意。且在表征问题时,要在记忆中寻找与问题相适宜的知识和策略(如图2 所示)。

图2

题目(2020 年高考全国卷3 第17 题)。

设数列{an}满足a1=3,an+1=3an−4n。

二、广阔性思维的培养---对问题的解答运用不同角度的模式给出不同的解法

广阔性思维指思维活动作用的广泛范围。依据解题认知循环系统,其培养旨在从不同角度寻找与问题表征相匹配的模式,再将问题进行迁移和转化。以下将以第一问的问题为例,阐述如何提升思维的广阔性(如所图3 示)。

图3

解法3:利用数学归纳法，证明是否对任意的n∈N+,猜想an=2n+1都成立。

解法回顾,以上三种解法分别为:依据递推公式的转化,将已知代入求证得;依据递推公式的结构,设立参数,利用已知设立方程组求解方程即得通项公式;利用数学归纳法对猜想进行推理证明。三种解法分别从不同的方位,思想给出不同的解法,引导学生在保持问题的整体性不变下,放开思路思考,使广阔性思维得到增强。……