动点轨迹方程问题的解法探讨

摘 要：本文主要研究了动点轨迹方程问题，给出了五种求解方法.

关键词：轨迹方程;解法;几何法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0039-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：赵林（1972-），男，江苏省句容人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

动点的轨迹方程是解析几何的重要知识点，也是高考数学中的常见题型，求动点的轨迹方程需要运用代数、几何、三角等有关数学知识，本人结合自己的教学实践，将动点轨迹方程的一般解法归纳如下.

一、直接法

根据题目中的已知条件直接找到动点所满足的等量关系，从而写出含有变量x，y的等式，这种求轨迹方程的方法叫做直接法.

例1 已知动点P到直线x=4的距离是它到点Q（1，0）的距离的2倍，求动点P的轨迹方程.

解 设点P的坐标是（x，y），根据题意得：x-4=2（x-1）2+y2，两边平方得，x2-8x+16=4（x2-2x+1+y2），3x2+4y2=12，所以動点P的轨迹方程是x24+y23=1.

变式1 已知动点P与平面上两定点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率的积为4.求动点P的轨迹方程.

解 设点P的坐标是（x，y），根据题意得：kPA·kPB=4，y-0x+2×y-0x-2=4，y2=4（x2-4），所以动点P的轨迹方程是x24-y216=1（x≠±2）.

图1

变式2 在△ABC中，已知点B（-3，0）和C（3，0），动点A满足∠ACB=2∠ABC，求动点A的轨迹方程.

解 设点A（x，y），∠ABC=α，则∠ACB=2α，∵kAB=tanα=yx+3，∴kAC=tan（π-2α）=-tan2α=-2tanα1-tan2α=-2yx+3÷1-yx+32=-2y（x+3）（x+3）2-y2，当x≠3时，则yx-3=-2y（x+3）（x+3）2-y2，∵y≠0，化简得：3x2+6x-9-y2=0，当x=3时也满足，所以动点A的轨迹方程是（x+1）24-y212=1（x>1）.

点评 这一类题目比较简单，可以直接根据题目中的等量关系写出含有x，y的等式，然后两边再进行化简，就能得到所求动点的轨迹方程.

二、定义法

若动点的轨迹符合我们所学过某种已知曲线的定义，则可以利用曲线的定义写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法.

例2 已知圆P经过点N（2，0），且与圆M：（x+2）2+y2=36相内切，求圆心P的轨……