一种忆阻混沌系统的设计与实现

周 游,刘 嵩，邱 达

(1.湖北民族大学 信息工程学院，湖北 恩施 445000； 2.湖北民族大学 新材料与机电工程学院，湖北 恩施 445000)

1971年Chua教授预测了第四种基本元器件的存在，同时首次提出了忆阻器的概念[1].忆阻器是一种具有记忆特性的二端元件，表征了磁通量与电荷量的函数关系.2008年惠普团队制备出了忆阻器的实物模型[2].2016年孙克辉团队[3]引入忆阻器模型至Lorenz混沌系统，产生了两翼超混沌吸引子.2017年包伯成团队[4]同时加入两个忆阻器模型至蔡氏混沌电路,产生了单涡卷超混沌吸引子.基于忆阻器的混沌电路研究与应用已经成为当下的一个研究热点，引入忆阻器的混沌电路通常具有非常丰富的动力学行为，表现为对初始值十分敏感，也易受元件参数影响.这些特性使得忆阻器在电路系统[5-7]、神经网络[8-10]、图像加密[11-12]、信号处理[13]及混沌振荡[14-16]等领域得到了重要的应用.

共存吸引子是指混沌系统在原有参数一定的情况下，仅通过更改状态变量的初值，而得到不同吸引子的现象.共存吸引子存在增加了系统的不确定性，在保密通信和信息安全等领域具有广泛的应用前景，因此，构建一个含有共存吸引子的混沌系统有着非常重要的工程价值.本文基于Liu和Chen提出的伪四翼三维混沌系统[17]，通过引入结构简单的分段线性忆阻器至该系统，设计了一个新的四维混沌系统.同一般的混沌系统相比，该系统具有无穷多个平衡点，且其动力学行为丰富，存在多种吸引子共存现象.

1 忆阻器和忆阻系统

构建的四维混沌忆阻系统模型如：

(1)

其中，a,b,c,d,e,f,k均为常数，x,y,z,u是系统中的状态变量,u为引入忆阻器反馈的状态变量，忆阻器的忆导值W(u)=m|u|+n(n<0,m>0)[18].

1.1 平衡点与稳定性

令式(1)左边为零，可得：

(2)

由式(2)可得系统平衡点为：

U={(x,y,z,u)|x=y=z=0,u=α},

(3)

由于α可取任意常数，表明该忆阻系统具有无限个平衡点.

系统(1)在平衡点U处的雅克比矩阵为：

(4)

由det(λI-Jo)=0得4个特征根，分别为λ1=0，λ2=f，λ3=a，λ4=c.当取参数系统a=2.6,c=-5,f=-1,系统(1)的平衡点为不稳定鞍点.

1.2 对称性

系统(1)有关于z轴的旋转对称性，即在变换(x,y,z,u)→(-x,-y,z,-u)后，系统保持不变，为出现共存吸引子提供了可能性.

1.3 耗散性

系统(1)的散度计算如：

(5)

考虑前述不稳定鞍点的敛散性，此时a=2.6,c=-5,f=-1,系统(1)的散度∇V<0，系统(1)是耗散的，同时也证明了系统吸引子的存在性.

1.4 Lyapunov指数分析

当a=2.6，b=-3，c=-5，d=1，e=1，f=1，k=-0.5，m=1，n=-0.1时，初值为(0.1,0,0.1,0)，计算得Lyapunov指数L1=0.628 6，L2=0，L3=-0.004 0，L4=-4.023 1.Lyapunov维数DL[19]计算如 ：

(6)

由式(6)可知系统存在分数维，即系统处于混沌状态.基于上述参数构建系统Simulink模型，如图1所示.仿真得到的相图如图2所示.

图1 忆阻混沌系统的Simulink模型 图2 Simulink模型的混沌吸引子Fig.1 Simulink model of memristor-based chaotic system Fig.2 Chaotic attractors of simulink model

2 吸引子共存

共存吸引子反映了非线性系统的多稳定性，通过更改状态变量的初值使系统进入不同的轨道，从而产生不同的吸引子[20].在固定系统参数的情况下，改变初值，系统(1)表现出复杂的动力学特性，即混沌吸引子共存和混沌—周期混沌吸引子共存.当参数为a=0.5，b=-3，c=-5，d=e=1，f=-1，k=-0.5，m=1，n=-0.1，初始值为(0,1,2.2,-0.1),(0,1,2.2,0.1),(0,1,1.5,-0.1),(0,1,1.5,0.1),(0,1,1,-0.1),(0,1,1,0.1),(0,1,0.8,-0.1),(0,1,0.8,0.1),(0,1,0.5,-0.1)，(0,1,0.5,0.1),(0,0.1,1.3,-0.1),(0,0.1,1.3,0.1),(-1,-1,3,-1),(-1,0,-11,-0.3),(-1,-1,8,-1),(-1,0,-11,-0.3)时，系统对应的x-z相图如图3所示，计算得到的Lyapunov指数如表1所示.当选取a为分岔参数时，状态变量x的分岔图如图4所示.

表1 共存吸引子对应的初始值和Lyapunov指数Tab.1 Initial values and Lyapunov exponents corresponding to coexisting attractors

图3 混沌吸引子(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)和混沌周期吸引子(g)、(h)Fig.3 Chaotic attractor (a),(b),(c),(d),(e),(f) and chaotic periodic attractor (g)，(h)

图3与图4同种颜色代表系统选取的初值相同，图3不同颜色代表的初值已经进行标注说明，图4可对比图3确定对应初值.在分岔图中，图4(g)与图4(h)中蓝色轨线随着参数a逐渐变大，对应的状态变量x也逐渐过渡到密集区域.此时对应的系统状态从周期态过渡至混沌状态.结合图3分析可以发现，此时蓝色轨迹对应的相图处于周期态，与分岔图分析结果吻合，同时对应表1的李亚普诺夫指数没有大于零的情况出现，也验证了周期的存在.

图4 参数a变化下系统的分岔图Fig.4 Bifurcation diagram of the system with parameter variation

3 电路实现

混沌系统的实现主要利用了运算放大器、电阻、电容、乘法器、二极管等分立元件，搭建的模块化电路如图5所示，其中虚线框部分为所用的忆阻器模型.结合基尔霍夫定律以及元件的伏安特性，图5电路对应的状态方程如下：

图5 忆阻混沌电路原理图Fig.5 Schematic diagram of memristor-based chaotic circuit

令τ=τ0t，其中τ0=100 0是时间尺度因子，结合式(1)得：

(8)

结合式(7)和式(8)，令方程右侧状态变量对应的系数相等，可以得到式(9)：

(9)

当a=2.6，b=-3，c=-5，d=e=1，f=-1，k=-0.5，m=1，n=-0.1时，选取电路元件参数如下：C1=C2=C3=Ca=10 nF，Rf=2 kΩ，R1=R7=Ra=100 kΩ，Rn=1 kΩ，Rb=Rc=Rd=Re=Rm=470Ω，Rg=300 kΩ.结合式(9)，可得：

R2=333.3Ω，R3=20 kΩ，R4=10 kΩ，R5=100 kΩ，R6=10 kΩ，R8=38.4 kΩ.

图5的电路仿真相图如图6所示，将数值仿真图2与相轨迹图6对比可知，数值仿真结果与电路仿真结果基本一致，说明所提出的混沌系统可以物理实现.通过改变图5中电容的初始条件，仿真得到关于x-z平面的相图如图7所示.对比图3和图7可知，共存吸引子的数值仿真与电路仿真也基本吻合，进一步验证了共存吸引子的存在.

图6 Multisim仿真相图Fig.6 Multisim simulation phase diagram

图7 不同初值下平面相图Fig.7 Plane phase diagram with different initial values

4 结语

在三维混沌系统上引入分段线性忆阻器，构造了一个新的忆阻混沌系统.该系统具有线平衡点，存在共存吸引子现象.利用Simulink数值仿真和Multisim电路仿真对系统进行验证，最终得到了一致的结果，验证了系统的正确性和可实现性，为忆阻混沌系统在保密通信、图像加密等工程领域的应用提供了一定的依据，具有一定的应用价值.