研究RLC串联电路的时间特性实现对示波器捕获时间校准

刘 丹，忻 静，邓 莉，张诗按

(华东师范大学 物理与电子科学学院，上海 200241)

生活中，对常用RLC振荡电路进行研究，可以得出RLC微分方程、传递函数、动态结构图与状态方程等数学模型，并且用合适的软件进行仿真模拟可以有效地将实验与理论结合起来。同时，通过对RLC串联电路的暂态过程进行分析，可以用于修正临界阻尼的测量值。RLC电路中涉及的物理量一般有时间常数、衰减常数、谐振频率、临界阻尼等，在回路中接入示波器可以测量这些物理量[1-4]，且通过对这些参数进行修正，可以得到更为精确的结论。

示波器的用途广泛，可以用数字示波器测量RLC电路的谐振特性[5]，用双踪示波器较为精确地测量RC或RLC电路中电容大小[6]，常用方波来观察RLC电路的暂态特性。当RLC电路中接入方波时，选择合适的周期，可以明显地观察到RLC电路的暂态特性，且在欠阻尼、过阻尼和临界阻尼情况下有不同的阻尼振荡情况。这是由于在方波新的半个周期内，t=0+时刻电容和电感感受到回路中电压的变化，导致电容两端电压和回路电流相应地发生变化，在t=0+时刻后，输入电压保持不变，回路可在稳定的电压条件下达到平衡，也就可以观察到RLC电路在t=0+时刻的暂态特性。

如果输入正弦形电压结果会怎么样呢？由于正弦波输出电压每时每刻都能够在发生新的电压变化前达到平衡，也就是说如果示波器在某个时刻捕获到电容两端的电压值，就会将该电压作为该时刻的输出，紧接着下一个时刻将有新的输出，所以示波器上将会出现随时间连续变化的曲线。本文研究基于三点假设的RLC串联电路欠阻尼、过阻尼、临界阻尼的时间特性，实现对示波器捕获时间的校准。

图1 RCL电路暂态特性曲线

1 理论分析

在RLC电路中，联立KVL和VCR方程，代入相应表达式可得如下二阶非齐次方程

(1)

其中us为接在回路中的电压，α为衰减常数(其倒数为时间常数)，ω0为谐振圆频率。

当回路在t=0+时刻接收到第一个正弦交流信号，此时回路是对示波器捕获能力的校准，认为信号源输出的正弦波将在一瞬间改变回路电压，不存在延迟，实际上该过程所需时间非常短暂(几微秒)[7]，所以不考虑时间延迟是合理的。

(1)当us为0时(零输入响应)，

(2)

(3)

可解得

(4)

(5)

(2)当接入电压为正弦形电压us=Asin(ωt)时，将输出调至从余弦开始扫描，那么在t=0+时刻可以认为初初始条件中A=U0。

因此上面的通解适用于下面的分析。如果将正弦波在t=0+的输出看作周期无限小的方波，则有如下分析：

(1)欠阻尼(α<ω0)：(此时s1和s2为复数，为了画出图像，所以要对上面的通解进行代入变换，用到欧拉公式)，得到(6)式

(6)

(7)

根据以上分析，(6)式可看作是回路电压突变的瞬时时刻，所以认为在t=0+时刻，电容两端电压满足(6)式，此时将uC(t=0+)看作时电容C的函数，可将uC(t=0+)表示为uC(C)：

(8)

(2)过阻尼(α>ω0)：此时s1和s2为实数，可直接利用通解画图，认为在t=0+时刻，电容两端电压满足(5)式，此时：uC(t=0+)=U0可以看出电容两端电压是一个常数，理论上并不随电容C的改变而改变

(3)临界阻尼(α=ω0)：如果直接将s1和s2代入(5)式，将出现分母为0不可解的情况，因此直接将方程代入解出，解为：

uC(t)=U0e-ω0t(1+ω0t)

(9)

即当在t=0+时刻，电容两端电压满足(9)式，此时uC(t=0+)=U0也为一个常数，即改变电容值时电容两端电压将保持不变。

(4)要注意到的是，在欠阻尼条件下，连接好RLC串联电路，将示波器接在电容两端，调节信号源(FB318型RLC电路实验仪)输出正弦波，振幅为2.86 V，频率分别为595 Hz和596 Hz，回路中外接电阻R=1 000 Ω，电感L=100 mH，电容从0.01 μF开始增加，用示波器(单次按键，进入捕获模式，触发调节为0 V)读出电容两端输出波形稳定时的电压峰值(衰减倍数均为1X)。

2 实验数据与模拟分析

2.1 实验数据

根据以上理论分析，结合实验条件，可将RLC电路中t=0+时刻电容两端的电压均不随电容而改变。表1的数据结果显示，当电容从0.01 μF开始变大时，电容两端电压先线性增大，当电容值超过0.09 μF时，电容两端电压线性减小。且对于不同的频率，电容两端输出电压值有较为明显的不同(即频率增大1 Hz，电容两端电压增大0.02 V)。

表1 电容电压随电容变化实验数据

根据以上分析，得出如下推论：当对RLC电路中输入正弦交流电时，如果认为示波器捕获每个数据点的图像均是在t=0+时刻捕获，且认为调节的余弦输出的波形是完全精确的，触发电压精确为0时，加在电容两端电压应当不随电容的改变而改变，但实验得到的数据并不符合该规律，当增大电容时，电容两端电压在欠阻尼状态下随电容增大而(近似线性)增大，在临界阻尼状态左右近似不随电容而改变，在过阻尼状态下随电容增大而(近似线性)减小，为什么会出现这种现象呢？关键在于做理论分析时有三个假设：

(1)认为示波器捕获每个数据点的图像均是在t=0+时刻捕获；

(2)调节的余弦输出的波形是完全精确的；

(3)调节的触发电压精确为0。

下面将讨论这三个假设的合理性。根据(5)式，把uC表示为时间t、电容C和初始电压U0的函数，即为

(10)

(11)

当t=0+时，上式为

(12)

根据理论画出的图像可以知道，当T取某一个确定的值时，式(12)与式(10)只有一点区别；当在式(12)中T取正数时，对应式(10)中t应取T的相反数。因此尽管后面的分析中存在可能影响初始时刻的因素，但是通解(10)式仍然适用。

对于假设(2)，影响余弦输出和初始时刻。首先讨论对U0的影响。在2.86 V附近变化，取U0的值为0，图像如图2所示，可以看出，尽管将U0减小了0.06 V，对曲线的影响也几乎很小，即数值模拟得到的理论曲线并不能只通过优化U0参数来使理论与实验曲线一致,因为U0影响的是输出波形的振幅，并不能对电压随电容变化的实验事实做出解释。对于假设(3)，触发电压事实上就是影响U0，所以假设(2)和假设(3)都是探讨U0的值对电容两端电压的影响。上面已经分析，U0对曲线的影响并不是导致理论与实验曲线不一致的主要原因。对于假设(1)，需要注意两点：一是认为示波器都是在同样的时间点捕获每个数据点；二是这个同样的时间点为t=0+时刻。如果在数值模拟时改变时间t=0+为t=t1(保持U0为2.86 V)，在某个数据点的捕获时间点为t1，但并不能表明在每个数据点捕获的时间点均为t1，这是需要特别注意的。假设(2)和假设(1)中都提到对初始时刻的影响，所以下面对时间的修正包含对这两部分假设的验证。

图2 改变U0后的理论与实验数据曲线

2.2 模拟分析

(1)过阻尼和临界阻尼情况

图3(a)所示有四条曲线，红色和绿色的散点图分别代表在f=595 Hz和f=596 Hz的输入频率下、增大电容，测得的电容两端电压值曲线。黄色曲线是在捕获时间为-0.000 27 s、U0为2.86 V时电容两端电压u(-0.000 27,C,2.86)随C的理论变化曲线，可理解为当U0为2.86 V、且示波器每次都在-0.000 27 s捕获数据点时，改变电容大小得到的关于电容两端电压的变化曲线。同样地，蓝色曲线是在捕获时间为-0.000 28 s、U0为2.86 V时电容两端电压u(-0.000 28,C,2.86)随C的理论变化曲线，可理解为当U0为2.86 V、且示波器每次都在-0.000 28 s捕获数据点时，改变电容大小得到的关于电容两端电压的变化曲线。

(a)过阻尼和临界阻尼情况

通过比较黄色曲线与绿色曲线，当改变捕获时间点时，对曲线有明显的影响，说明假设(1)是导致理论曲线与实验曲线不一致的最主要原因。按照分析，如果示波器每次均是在相同的时间点捕获每个数据点，那么调节捕获时间，理论曲线与实验数据应该能够重合。但是经过数值模拟后发现，无论如何改变捕获时间点，都不能使理论曲线与实验曲线完全重合，只能出现有交点的情况。

这说明示波器每次捕获的数据点并不是在相同的时间点，这与实际也是相符的，示波器不可能每次都恰好在完全同样的时间点捕获数据。从上面理论分析可以看出，不同数据点捕获的时间点有很小的时间差(330 μs)。数值模拟得到的曲线与实验曲线存在交点。黄色曲线与散点图大致相交于C=0.4 μF处，说明在本次实验条件下，当C=0.4 μF、U0=2.86 V时，示波器在第一个余弦图样输出前270 μs时捕获到电容两端电压数据。蓝色曲线与散点图大致相交于C=0.6 μF处，说明在本次实验条件下，当C=0.6 μF、U0=2.86 V时，示波器在第一个余弦图样输出前600 us时捕获到电容两端电压数据。从图像中可以看出，示波器捕获的实验点(0.4 μF，1.74 V)(为临界阻尼)和(0.6 μF，1.20 V)(595 Hz)的曲线相对于余弦图像上该点(0,1)(时间为0，电压单位化为1)超前270 μs，这里表明尽管示波器在很短时间内到达平衡，但是仍然不可将示波器捕获的图像认为是t=0+时刻的图像。这里T为负数表明示波器捕获到的稳定图样超前于信号源输出的第一个余弦图样(前面已经认为调节至余弦输出并且已经讨论其对实验结果的影响)。理论与实验曲线的交点即为上面提到的某个数据点。

值得注意的是，理论计算出电容两端电压存在负值，这其实是合理的，因为示波器也能够显示电压为负值，至于为什么在实验条件下没有测得负电压，与实验条件有关。这里需要注意的是实验与理论曲线的交点，不管该交点是正电压还是负电压，如果当理论曲线中T取某一个值T1时，实验数据与理论没有交点，那则说明在本次实验条件下测得的实验数据中，不存在示波器捕获时间为T1的数据点。T在前面的含义是指人为调节的第一个余弦输出图样超前标准余弦输出图样的时间，但是这里不能忽视示波器本身的捕获数据的能力(即示波器能否在极短的时间内捕获到数据点)，所以T延伸的含义是指示波器的捕获能力与实际余弦输入波形的时间差。可以调整时间零点，使正余弦输出是完全精准的，那么T就只代表示波器本身的捕获能力。

(2)欠阻尼情况

如图3(b)所示，四条曲线，其中黄色代表T=-0.000 1 s时电容两端电压随C的理论变化曲线；蓝色代表T=0.000 1 s时电容两端电压随C的理论变化曲线。从这里可以看出当T越大，交点往电容值小的方向靠近。这说明电容值越小，示波器捕获瞬时电压的能力越差，延后或超前的时间越长。

3 结 语

电路从欠阻尼状态到临界阻尼到过阻尼状态示波器捕获能力随电容增大而提高。当C逐渐增大时，回路电压由振荡趋于平稳，在输入方波较为平稳的条件下，示波器能够捕获的电路RLC瞬时状态数据将更为准确。通过研究RLC电路的时间特性，进行数值模拟，知道在某一实验数据与理论曲线的交点反映了示波器在该实验条件下、对该数据点的捕获状态，实现捕获时间校准。如果在实验条件要求很高、示波器的捕获能力对实验影响较大的情况下，就需要对其捕获时间点进行校准，以获得更精确的结论。