三维边值问题有限差分离散系统预处理的病因抑制策略

张衡，倪振松，郑汉垣

（1.福建技术师范学院a.大数据与人工智能学院；b.无损检测技术福建省高等学校重点实验室，福建福清 350300；2.龙岩学院传播与设计学院，福建龙岩 364012）

偏微分方程的离散系统往往是如下的大型稀疏病态（高条件数）线性方程组[1-2]

其病态问题是制约求解效率和精度的瓶颈[3]，因此，求解之前，需要使用预条件技术[4]139-151来减少系统的病态.

预条件技术[4]139-151的关键是构造适当的预条件子[4]93-98，理想的结果是构造出通用的、最优预条件子[5].

目前，病态问题的解决仍然处在治标不治本的状态.一是缺少对病因的研究，难以针对病因提出科学的预处理方法，不能从根本上消除病态[6-8]；二是预条件子的设计缺乏科学依据，多用实验的方法探索和验证；三是对预处理子的功能多用实验结果说明，难以进行科学的定量分析[9-15].目前关于针对病因的预处理方法鲜见有成果发表.

文献[16][17]针对基于非均匀网格有限差分方法形成的二维泊松方程边值问题离散系统，研究病态原理和预处理方法.针对该方程研究病态结构、病态因子、去病因子；利用病态因子估计方程的条件数，利用去病因子消除病态因子的作用，论证了去病因子是最优预条件子[5].

本文针对病因，提出病因抑制策略，来解决三维泊松方程边值问题差分方法大规模求解中的病态问题.针对不同精度差分格式形成的三种离散系统，基于结构分析的策略[17-20]，确定病因.根据病态结构和病态因子的条件数评估方程的原发病态和继发病态；……