纯粹的破损过程的群体平衡方程的对称及精确解

林府标，张千宏

(贵州财经大学数统学院，贵州 贵阳 550025)

0 引言

1872年奥地利物理学家Boltzmann提出的Boltzmann方程与1916年波兰统计物理学家 Smoluchowski提出的离散和连续型Smoluchowski方程,均是群体平衡方程的经典代表.群体平衡方程不但历史悠久而且应用广泛[1-7],如可用于探索大气物理学中的气溶胶聚并[6-7],研究血液中血小板聚集的动力学行为[3-4]等.实体工程科学应用领域最困难的问题不是如何依据实体粒子的动力学行为建立群体平衡方程模型,而是没有精确求解这些方程的理论和方法途径,故其研究方法大多采用数值实验技术和近似解析逼近方法[1-7].

本研究在前人工作[1-7]的基础上建立和分析不带消沉项仅具有纯粹的破损过程的积分-偏微分方程(群体平衡方程)模型.首先假设F(x,t)代表粒子的平均数量密度函数,t表示时间,x表示粒子的尺寸如体积或质量等.为了研究粒子在任意t时刻种群分布的状态,通常假设函数F(x,t)足够光滑,即关于变量x和t的任意阶偏导数都连续.粒子密度分布函数的一阶矩M1(t)定义为

(1)

(2)

连续累积质量分布函数f(x,t)随着粒子尺寸x的逐渐增大而严格递增,并且对尺寸足够大的粒子满足归一化性质f(∞,t)=1,而对尺寸为零的粒子满足零初始值f(0,t)=0.为了研究粒子密度分布规律F(x,t),从纯数学角度转化为考虑函数f(x,t),利用函数F(x,t)的假设条件和式(2)，函数F(x,t)可以写成

(3)

运用P(x|y)表示尺寸为x的粒子破损成尺寸为y的概率,此概率密度分布函数通常根据实验观察、实践经验或模拟粒子的破损……