浅谈偏微分方程中的基本方法
——能量法

李 扬，舒慕华

（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601）

0 引言

能量法在偏微分方程中广泛应用于研究解的性质，即唯一性和稳定性.自然界的一切运动都遵循质量守恒、动量守恒和能量守恒，而能量法思想来源于物理学中的能量守恒律.利用波传播过程中能量守恒或能量衰减关系，形成能量等式或能量不等式.偏微分方程常与物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域有着广泛的联系，常把物理研究中出现的偏微分方程称为数学物理方程［1］，而数学物理方程中的三大支柱为椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程.极值原理或最大模估计［2］能够对这几类方程中一些特殊的偏微分方程进行解的唯一性和稳定性研究，但是对于一般形式n维线性偏微分方程或非线性偏微分方程的解的唯一性和稳定性处理难度很高，甚至无法进行研究，而能量法能够很好地处理这几类线性偏微分方程及非线性偏微分方程，具有更广泛的适用性.

曹洪锋［3］等利用傅里叶变换和分离变量法研究热传导方程的能量估计及其应用，其主要是针对一维热传导方程的能量不等式；赵天玉等［4］对n维双曲型方程解的能量估计和解的性质进行研究；王云波［5］基于线性方程解的衰减估计和能量估计对一类高阶半线性抛物线方程初值问题进行研究；胡文燕［6］对一类椭圆方程的边值问题进行讨论并对其解唯一性和稳定性进行能量估计；随后，杜保营［7］探讨能量估计在一般形式二阶n维双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程（初）边值问题的一些应用，主要研究能量积分在几类线性偏微分方程解的应用.

本文对经典的线性椭圆、抛物和双曲方程给出能量不等式，并据此分析解对初始数据的连续依赖性.针对一类特殊的非线性偏微分方程组，即一维可压缩Navier-Stokes 方程［8］，采用能量估计的办法对定解问题的稳定性进行讨论.本文旨在揭示能量法在偏微分方程研究中广泛的适用性.此外，能量方法在求解流体力学中非线性偏微分方程的定解问题时，也有诸多重要应用［9-12］.

1 预备知识

定义1［2］定解条件和定解问题.方程的解必须要满足事先给定的条件叫定解条件，包括初值条件和边值条件，一个方程配备上定解条件就构成一个定解问题.

定义2［2］定解问题的稳定性.在连续函数空间的范数意义下，若定解问题的初始数据或边界数据有微小变动时，其相应的解的变化也很微小，则称该定解问题的解是稳定的.若设赋范线性空间为Ω，范数用‖·‖Ω表示，u1和u2分别对应于定解数据为φ1和φ2的同一个定解问题的解，则解的稳定性可表达为：

任给ε ＞0，存在δ ＞0，使得只要，就有

特别地，当p=q=2 时，有

称为带ε的Cauchy不等式.

定理2［14］Poincare不等式.设1＜p ＜+∞，Ω为Rn中的有界区域，u为在∂Ω取值为零的光滑函数，则成立不等式：

定理3［2］散度定理.设Ω是n维空间中由光滑的曲面Γ所围成的有界连通区域，n是∂Ω的单位外法向.任取光滑子域G⊂Ω，对任一个光滑向量场，则有Gauss公式.又叫散度定理为：

定理4［2］Green 第一公式.设Ω⊂Rn是边界光滑的有界区域，n是∂Ω的单位外法向.若，在式（3）中取w为uDv，则得到Green第一公式为：

定理5［13］Schwarz不等式.设f(x)，g(x)在Ω上平方可积，则有：

定理6［15］Gronwall 不等式（微分形式）.设η(t)是在[0,T]上一个非负绝对连续的函数，对任意的t满足微分不等式≤φ(t)η(t)+ψ(t)，其中φ(t)和ψ(t)是[0,T]上的非负可积函数，那么不等式

为Gronwall不等式，其对所有的0 ≤t≤T成立.

定理7［2］叠加原理.设L为线性偏微分算子，且ui满足线性方程Lui=fi，i=1,2,…,m，其中m为有限数或+∞，则它们的线性组合必满足方程.当出现无穷求和时，则要求级数收敛且满足L中出现的求偏微商和可交换次序的条件.

2 能量方法在研究线性偏微分方程稳定性中的作用

2.1 对Poisson方程应用能量方法

设Ω⊂Rn(n≥2)是有界开集，∂Ω∈C1.考虑Possion方程的Dirichlet问题

2.2 对热传导方程应用能量方法

考虑热传导方程的混合问题［16］：

其中：a ＞0,b ＞0,d ＞0,T ＞0 且t∈[0,T]，Ω是Rn中具有光滑边界的有界区域，f(x,t)，φ(x)为适当光滑的函数.证明该问题的解在平方模意义下，关于外力项f(x,t)和初始值φ(x)是稳定的.

证明将式（9）第1个方程两边同乘以u，并在Ω×(0,t)上积分得：

对方程左端利用Green第一公式（4），右边用Schwarz不等式（5）可得：

对上式应用Gronwall不等式（6）可得：

其中t∈[0,T]，于是得到热传导方程的能量估计：

其中c仅与T有关.

2.3 对波动方程应用能量方法

考虑波动方程的初边值问题：

设Ω是Rn中有光滑边界的有界区域，f(x,t)，φ(x) 和ψ(x) 为适当光滑的函数，其中T ＞0 且t∈[0,T].证明该问题的解在平方模意义下，关于外力项f(x,t)和初始值φ(x)、ψ(x)是稳定的.

证明将式（12）第1个方程两边同乘以ut，并在Ω上积分得：，即可得：

对积分等式（13）的左端应用散度定理和边界条件u|∂Ω=0,x∈∂Ω，右端应用Schwarz不等式（5）得：

其中t∈[0,T]，c仅与T有关.

设u1(x,t)，u2(x,t)为问题（12）分别对应于φ1(x,t)、ψ1(x,t)、f1(x,t)和φ2(x,t)、ψ2(x,t)、f2(x,t)的解，令

由叠加原理可得：

对上面的初边值问题应用能量估计式（14）可得：

对一切t∈[0,T]都成立，即证得齐次波动方程的解对外力项f(x,t)和初始值φ(x)、ψ(x)在平方模意义下的稳定性.

3 能量方法在求解非线性偏微分方程稳定性中的应用

3.1 对一维可压缩Navier-Stokes方程组应用能量方法

在[0,1]×[0,T]上考虑一维可压缩Navier-Stokes方程组的初边值问题：

其中：x∈[0,1]，t∈[0,T].证明该问题的解在平方模意义下对初始值具有连续依赖性，即是稳定的.

证明首先，由式（15）的第1 个方程可以将第2 个方程改写为：ρ(ut+u·ux)+(ργ)x=μ·uxx.假设(ρ0,1,u0,1) 和(ρ0,2,u0,2)为问题（15）的两个光滑初始值，且0 ＜m≤ρ0,1,ρ0,2≤M＜∞.

由流体力学中的经典结果知对应地存在2 个光滑解，分别为(ρ1,u1) 和(ρ2,u2)，且0＜m1≤ρ1,ρ2≤M1＜∞.

于是可得：

将式（16）中的两个方程作差可得：(ρ1-ρ2)t+[ρ1(u1-u2)+u2(ρ1-ρ2)]x=0.两边同乘以(ρ1-ρ2)，并在(0,1) 上积分可得：

接下来，将式（18）右端4项逐一进行估计，下文中所有的Lp均表示Lp((0,1))，其中1 ≤p≤∞.

由式（18）右端第1项有：

由Poincare不等式（2）得：

由式（18）右端第2项有：

由式（18）右端第3项有：

由式（18）右端第4项有：

综上可得：

将式（17）中的2个方程作差可得：

对上式两边同乘以(u1-u2)，并在(0,1) 上积分可得：

对式（20）左端6项逐一进行估计.

由式（20）左端第1项注意到：

于是有：

对上式右端第2项进行估计有：

由式（20）左端第2项有：

由式（20）左端第3项有：

由式（20）左端第4项有：

由式（20）左端第5项有：

由式（20）左端第6项有：

由式（20）右端进行估计可得：

综上分析可得：

式（19）和式（21）相加，并取ε充分小，可得：

对上式应用Gronwall不等式可得：

由上式即可证得一维可压缩Navier-Stokes方程组初边值问题的解对初值的连续依赖性，即稳定性.

4 结语

本文对线性偏微分方程和非线性偏微分方程做出能量估计，具体包括Poisson方程、热传导方程、波动方程、一维可压缩Navier-Stokes 方程组.利用能量法分析方程的解对初始数据的连续依赖性，由此揭示能量法在偏微分方程研究中的普适性.事实上，能量法在偏微分方程的理论研究中还有诸多重要应用，尤其是在非线性偏微分方程解的存在性和解的最优衰减估计.