浅谈偏微分方程中的基本方法
——能量法

李 扬，舒慕华

（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601）

0 引言

能量法在偏微分方程中广泛应用于研究解的性质，即唯一性和稳定性.自然界的一切运动都遵循质量守恒、动量守恒和能量守恒，而能量法思想来源于物理学中的能量守恒律.利用波传播过程中能量守恒或能量衰减关系，形成能量等式或能量不等式.偏微分方程常与物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域有着广泛的联系，常把物理研究中出现的偏微分方程称为数学物理方程［1］，而数学物理方程中的三大支柱为椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程.极值原理或最大模估计［2］能够对这几类方程中一些特殊的偏微分方程进行解的唯一性和稳定性研究，但是对于一般形式n维线性偏微分方程或非线性偏微分方程的解的唯一性和稳定性处理难度很高，甚至无法进行研究，而能量法能够很好地处理这几类线性偏微分方程及非线性偏微分方程，具有更广泛的适用性.

曹洪锋［3］等利用傅里叶变换和分离变量法研究热传导方程的能量估计及其应用，其主要是针对一维热传导方程的能量不等式；赵天玉等［4］对n维双曲型方程解的能量估计和解的性质进行研究；王云波［5］基于线性方程解的衰减估计和能量估计对一类高阶半线性抛物线方程初值问题进行研究；胡文燕［6］对一类椭圆方程的边值问题进行讨论并对其解唯一性和稳定性进行能量估计；随后，杜保营……