复习立体几何应抓住的几个主要问题

何军

[摘  要] 做任何事情都要抓住主要矛盾，高考复习也是如此. 立体几何是高考必考内容，地位重要，对此部分内容进行复习时，教师要引导学生抓住其主要问题：强化图形意识，强化论证能力，强化运算能力.

[关键词] 立体几何;复习;图形意识;论证能力;运算能力

俗话说，纲举才能目张，做任何事情都要抓住主要矛盾，这样才能达到事半功倍的效果，高考复习也是如此. 高考复习时间紧，任务重. 尤其对于理科的立体几何而言，既有必修内容，又有选修内容，而且这些内容都是高考的必考内容. 那么，教师在引导学生复习时应抓住哪些主要问题呢？回答这个问题之前，我们先看看高中立体几何的教学目标是什么？从数学教学核心素养观的角度看，即通过对空间图形认识，来培养学生的三种核心素养——空间想象素养、逻辑推理素养和数学运算素养. 对此，教师在组织学生复习立体几何时，要围绕着“教学目标”展开.

强化学生的图形意识

强化学生的图形意识，即是培养学生作图、识图、用图的能力，因为它是学生学好立体几何必须具备的重要能力之一，在教学中，我们看到，学生的识图、作图、用图能力的薄弱主要体现在以下几个方面：（1）三视图的识别与还原;（2）球问题的直观呈现与转化;（3）作图问题;（4）展折问题的图形分析. 因此，教师在教学中要有的放矢加以训练.

例1：某几何体的三视图如图1所示，它的正视图和侧视图都是正方形，俯视图为等腰直角三角形，它的腰长为 ，那么这个几何体的体积是（  ）

A.  B.

C.  D.

分析：依据三视图，可画出几何体为如图2所示的四棱锥A-BCDE，它的底面BCDE为矩形， 先取DE的中点F，再连结AF，那么AF就是四棱锥A-BCDE的高h. 因为BE= ，DE=2， h= sin =1，故V = ×BE×DE×h= × ×2×1= ，于是选B.

点评：忽视三视图中的实线与虚线的区别是本题的易错点，从而导致所判断的空间几何体出现错误.正确求解此类题的关键：一是画出几何体的直观图. 这个直观图的形状和尺寸的大小都取决于三视图，因此，解题时必须对三视图进行充分研究. 二是根据几何体的形状确定体积公式的选择，对于较为复杂的几何体，可采用割补法来求体积.

當然，识图、作图、用图能力的培养非一朝一夕就可实现！教师要“舍得”花时间和精力“手把手”地教学生“如何画”;要“讲明作图的原理”，避免学生能看懂教师的“画”自己却画不了;要引导学生制作立体几何模型，以此来培养学生的模型意识与动手能力，引导学生巧借“身边的道具”分析问题、解决问题.

强化学生的论证能力

如果说强化学生的图形意识是为了培养空间想象素养，那么论证能力的培养就是发展学生的逻辑推理素养. 高考中，对立体几何考查的主观题中必有一问是证明题. 这道证明题重点考查空间线面关系的逻辑论证. 以定性分析为主，以定量计算为辅. 要求考生立足基础，运用相关定理进行逻辑推理，且书写规范. 但在解答时，易犯推理欠严密的错误，如证明直线与平面平行，忘了写明平面内的两条直线相交，忘了注明这条直线在平面外，另外一条直线在平面内. 还有的学生经常会犯逻辑错误，将充分条件与必要条件颠倒等等，这些问题在立体几何复习时应该成为教师的复习重点.

例2：如图3，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别为AB，PC的中点.

（1）求证：MN∥平面PAD;

（2）若∠PDA=45°，求证：平面PMC⊥平面PCD.

证明：（1）如图4，取PD的中点E，连接AE，EN. 因为N为PC的中点，所以EN为△PDC的中位线，所以EN  DC. 又CD AB，M为AB中点， 所以EN AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE. 又MN？埭平面PAD，AE？奂平面PAD，所以MN∥平面PAD.？摇？摇？摇？摇？摇？摇

（2）因为PA⊥平面ABCD，CD？奂平面ABCD， AD？奂平面ABCD，所以PA⊥CD， PA⊥AD. 因为CD⊥AD， PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD. 如图4，因为AE？奂平面PAD，所以CD⊥AE. 因为∠PDA=45°，E为PD中点，所以AE⊥PD. 又PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD. 因为MN∥AE，所以MN⊥平面PCD. 又MN？奂平面PMC，所以平面PMC⊥平面PCD.

点评：立体几何位置关系的证明，处处体现了转化思想. 无论是证明线面平行、面面平行，还是线面垂直和面面垂直，最终都转化为线线关系，转化为平面几何中的平行线的证明和两条直线垂直的证明，即三维空间向二维平面转化. 与此同时，转化思想还体现在性质定理与判定定理之间的转化. 在立体几何证明题中，每一步转化都要有理有据，不可跳步，尤其是关键性的语言，如本题中的“PA∩AD=A”和“PD∩CD=D”都不可漏写.

从目前高考命题来看，虽然立体几何论证题难度不大，但书写格式要求严格规范，不得有半点漏洞，因此，对学生立体几何论证能力的培养，也是在培养他们严谨治学的学风和脚踏实地的科学态度，从这一点上讲更具有实际意义.

强化学生的运算能力

高考对立体几何计算能力的考查，除了考查与三视图有关的面积与体积问题外，就是空间角与空间距离的计算问题，空间角与空间距离的计算一直是立体几何教学的重点与难点，这类问题，说理与计算并存，比如，要求距离，必须先证明直线与平面垂直，要求二面角，必须通过逻辑论证找到二面角的平面角，这一点往往被学生忽视，对于接下来的计算，需选择合理方法解决，比如，异面直线所成的角往往转化为两条相交直线的夹角问题，而且不能忽视该角的取值范围. 而对于理科生来说，二面角的计算问题往往可以转化为两个平面的法向量的夹角问题，但同样要注意这个二面角的方向与取值范围. 而“线面角”通常可转化为直线与平面的法向量的夹角. 对于一些较为复杂的图形，合理选择“基本量”可大大简化计算. 由于立体几何计算题要求学生有较强的空间想象能力，故而一直是部分学生的弱点，因此，这一点在复习时也应该加强，以强化学生的立体几何运算能力.

例3：如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.

（1）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;

（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值.

分析：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又AD⊥AB，所以PA，AD，AB两两垂直，如图6建系：P（0，0，2），B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1）.

（1）设平面PBD的法向量为n=（x，y，z）， =（1，0，-2）， =（-1，2，0），所以x-2z=0，-x+2y=0 ？圯n=（2，1，1）. 设直线BE与平面PBD所成角为θ，所以sinθ=cos〈 ，n〉= = = .

（2）设F（x，y，z），所以 =（x，y，z-2）， =（2，2，-2）. 因为P，F，C三点共线，所以 =λ =（2λ，2λ，-2λ），所以x=2λ，y=2λ，z-2=-2λ，所以F（2λ，2λ，2-2λ），所以 =（2λ-1，2λ，2-2λ）， =（2，2，0）. 因为BF⊥AC，所以 · =2（2λ-1）+2·2λ=0解得：λ= ，所以F ， ， . 设平面FAB的法向量为m=（x，y，z）， =（1，0，0）， = ， ， ，所以x=0， x+ y+ z=0 ？圯m=（0，3，-1），平面ABP的法向量为n=（0，1，0），所以cos〈m，n〉= = =  ，所以二面角F-AB-P的余弦值为  .

点评：本例体现了空间向量的工具性. 体现了空間向量法在立体几何空间角计算中的优越性，但必须先合理建系，交代并计算法向量，向量坐标运算必须准确无误.

如何引导学生避开立体几何运算中的错误？教师要提醒学生：一是牢记立体几何有关概念，如异面直线所成角的取值范围、二面角的平面角的定义;二是注意图形的变化，翻折前后的不变量及位置关系，对照翻折前后的图形，弄清楚变与不变的量.

总之，立体几何复习，既要重视学生的基础知识、基本技能的巩固，又要突出综合能力的培养创新意识的形成，以学科核心素养和基本的数学思想与方法为抓手，把学生的立体几何思维水平推向新的高度.