图形的旋转变换中的模型提炼与探究

倪秀静

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。

由此引发思考，可否借助几何直观把复杂的图形变换问题变得简明、形象，提炼出有助于探索解决问题的数学模型，引导学生找到这类问题的本质。

一、问题探究

我们先从例1的解法谈起。

例1：如图，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A′B′C′，则点P的坐标是 _______。

【分析】根据图形旋转的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。

先根据图形可知点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线上，也在线段BB′的垂直平分线上，那么两垂直平分线的交点即为旋转中心。

【解答】解：∵△ABC绕P点顺时针得到△A′B′C′，

∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，

作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），

∴旋转中心P点的坐标为（1，2）.

二、提炼模型——让“动”起来的图形“静”下来

通过例1，我们发现在解决这个问题的过程中，关键点是要抓住图形旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，由此推断出旋转中心必在对应点连线AA′和CC′的垂直平分线上。那我们能不能进一步思考，如果我们将旋转中心P和对应点连接起来，那么此时构成的三角形△PAA′、△PBB′、△PCC′会是什么性质呢？在旋转的过程中，旋转角可以用图形中哪个角来表示呢？

【分析】根据图形旋转的性质可知PA=PA′，PB=PB′，PC=PC′