关于复合函数极限运算法则及泰勒公式的一个注记

吴世玕

无论是数学分析还是高等数学，都介绍了复合函数极限运算法则及泰勒公式.复合函数极限运算法则一般陈述如下：

设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若，且 存 在δ0＞0，当x∈时，有g(x)≠u0，则A.［1−2]

法则中提出限制性条件：“存在δ0＞0，当x∈UO(x0,δ0)时，有g(x)≠u0”，为何要有这个限制性条件，文献［3−5]用具体实例说明，如果没有上述条件，法则的结论就有可能不成立，或者说，没有这个条件，法则就更不容易证明.但这些文献，并没有从理论上分析，为什么要在法则中提出这个限制性条件.

文献［2]中，提出用n次多项式pn(x)近似一般的复杂函数f(x)，类似于微分概念，要求误差为.紧接着又提出要求，= 0,1,2,…,n.从而推导出f(x)的n阶泰勒公式.初学者会有这样的疑惑：教材上提的要求有点太多，或者说，这两个要求是否矛盾.当然，教材上证明了它们不会产生矛盾，这两个要求是相容的.作为教师，要站在学生的角度，从探求的角度去发现结论，而不是先给出结论，再来证明结论.可以从第一个要求出发，去发现f(x)的n阶泰勒公式的系数，这样更贴近初学者的认识规律.

1 复合函数极限运算法则中限制性条件g(x)≠u0的理解

1.1 用极限定义解释函数极限运算法则中的限制性条件g(x)≠u0

若函数y=f(u)在u=u0点处无定义，而在讨论极限时，极限定义中要求f[g(x)]在x0点的某个去心邻域内有定义，因此，就要求在内，g(x)≠u0.

若函数y=f(u)在u=u0点处有定义，但f(u0)≠A.且要求结论

那么，何时可以去掉限制性条件“存在δ0＞0，当时，有g(x)≠u0”？由以上分析可知，若函数y=f(u)在u=u0点处有定义，且，则可以去掉这个条件.也就是说，当函数y=f(u)在点u0处连续时，可以去掉这个限制性条件.

1.2 用实例解释复合函数极限运算法则中的限制性条件

在利用无穷小等价替换求极限时，复合函数极限运算法则起到很重要的作用，比如x→0时，

利用复合函数极限运算法则，只要在x的某无限变化过程中，φ(x)→ 0,φ(x) ≠0，就有

其中要求φ(x)≠0，就是复合函数极限法则中的限制性条件［6].

2 泰勒公式的系数

泰勒公式的系数是用导数计算的，但有时，高阶导数比较难求，或高阶导数公式很麻烦，可以通过其他方法求泰勒公式的系数.特别是求复合函数的泰勒公式的系数，可以尝试通过极限方法求出.

2.1 用极限方法推导泰勒公式的系数

设f(x)在x0处具有n阶导数，且

反之，记

则可证明，f(x)=pn(x)+Rn(x),其中Rn(x)=且0,1,2,…,n.（文献［2]有证明过程）.

这里提供了求泰勒公式系数的一种新方法，通过极限求泰勒公式的系数.

求极限过程中，除了用洛必达法则外，无穷小等价替换、极限四则运算方法、复合函数极 限 运 算 换 元 法［7−10]，都 是 常 用 方 法.求ak时，不一定要求出f(k)(x).当f(k)(x)表达式较难求出时，用极限方法，有时也能求出系数ak.

2.2 用极限方法求泰勒公式的系数举例

例2 求e2x−x2包含x3项的带有佩亚诺余项的Taylor公式.

所以，e2x−x2=1+2x+x2−

3 结语

学习高等数学，不仅要知晓各概念、定理、公式的定义、使用条件、使用方法，更要知晓定理中为何会有一些限制性条件.作为高等数学教师，在讲解比较难的定理时，不妨先从实例出发，引出要讲解的定理结论.更重要的是，不仅要教学生如何证明定理结论，更要从理论上，让学生多想一想，定理中为什么要有这些条件.最好是从理论及实例两方面加以解释，这样，可让学生对定理有个更加清晰的认识.教学，不能强迫学生接受教师讲的结论，要从多方面讲清楚知识要点.要培养学生创新意识，不要拘泥于教材上的知识，要大胆地创新探索，要有自己的想法.