连续时间系统预期强干预

莫培勇

摘 要：本文研究的是基于累积效应的连续时间系统预期强干预，即我们采取相应控制，使系统在受到可预期的强干预时，能其达到输出相对稳定的结果。其中，干预强度可以是非常大的，因此要在强干预发生之前就进行一定控制。一旦强干预来临，则可起到缓冲作用，有利于系统输出的稳定。此外，最小方差控制考虑预期强干预时的控制效果明显好于不考虑预期强干预，说明我们控制是有效的。我们预测不同的初始（终止）干预时刻对系统输出的影响也不同，当时，控制效果明显;则控制效果较差。当输入约束较为宽松时，控制效果明显;反之，控制效果不甚理想。

关键词：连续时间; 强干预;累积效应;初始干预时

1 预期强干预的基本概念

预期强干预，即在可预见的短期之内，系统必然遭到因某些外部因素的影响而引起的干预，且干预强度一定是大的。其中，便是强干预，是分布已知的随机过程，是的数学期望[1]。

外部因素的影响而引起干预相对系统本身所受的是干扰非常大的，所以为了方便我们研究，往往假定干扰是小的干扰[2]，如零均值白噪声[3]。

2 本研究项目的创新之处

基于干预（干扰）的系统分析、建模与控制的研究，无论是在系统控制领域还是在经济、管理领域都已开展多年[4，5]。不过，已有的研究主要限于干预（干扰）是过去发生过的[6]，或者是自初始时刻就存在的，或者是计划实施的过程中影响计划完成的因素变化属于已知的有限集合等等[7]。

本项目是一项创新性课题，其中所提出的预期强干预区别于已有的干预分析，是一个全新的概念。预期强干预是本项目所涉及的关键性概念，也是全部拟定研究内容的出发点和围绕的核心，所界定的预期强干预概念主要包含如下属性。

1.22.1 强干预作用的显著性

对系统而言，干预的强度是一个较大的值，将产生显著的（正面或反面）效应。在这里，为了方便研究，我们取为一个不随时间变化的常数。干预发生及其持续期间对系统的动态品质如峰值、波动以及连续性将造成大的影响，特别是可能导致系统的状态（输出）与系统设定值（平衡点或跟踪轨迹）的偏离程度达到不能容许的程度以至于导致系统的崩溃;

1.32.2 强干预发生的可预期性

所谓的可预期性是以如下两方面为基础和前提条件的。首先，诱发强干预的外部因素的客观存在性;其次，外部因素（的变化）导致强干预在“可预见的未来”发生的必然性。

1.42.3 强干预发生的初始时刻和持续时间均具有随机不确定性

诱发强干预的外部因素通常是由多因素构成的，且具有某种随机不确定性[8]。外部因素的随机不确定性决定了，由其诱发的强干预发生时刻及干预终止时刻也必然具有随机不确定性。因此，我们必须对初始干预时刻和终止干预时刻做必要的估计预测。

3 外部因素及预测

1.53.1 累积效应

在实际事例中，诱发强干预的外部因素通常是由多因素累积构成的，且众多因素中的任何一种因素都不占主导地位，即由累积效应诱发强干预。

为了方便我们研究，通常认为诱发强干预的外部因素是静态的，即各种因素对系统的影响不随时间的变化而改变。

3.2 初始干预时刻的预测

既然知道在可预期的未来强干预将必然发生，就必须系统加以控制，使强干预对系统产生的效应减少至最低。对初始干预时刻的预测及预测的精确性显得至关重要。诱发强干预的因素众多且随机不确定[9]，此预测方法基于累积效应，在众多静态的外部因素共同作用下，导致强干预的发生。由此，我们得到了在可靠度为下的对的估计值，就是预测的初始干预时刻。

3.3 终止干预时刻的预测

既然诱发强干预的外部因素是随机不确定的，则导致强干预消失的外部因素也是随机不确定的。本项目中，我们研究的是预期强干预，在课预期的不久，强干预必然发生，但终止干预时刻则不然，一些干预一旦发生，就不再会终止，即。且这种情况经常发生。例如：国家就针对某一行业所设定的法规、规范我们可视之为强干预，此种干预将在很长的时间内不会消失，就可以认为终止干预时刻无穷大;

4 控制及分析

4.1 连续时间系统与离散时间系统的转换

本项目研究的是连续时间系统预期强干预，不过在MATLAB中极难实现，因此，须把连续时间系统转化为离散时间系统，以下便是推导过程，在接下来的研究中，便都按离散时间来处理问题。

4.2 基于预期强干预的最小方差控制

4.2.1 控制不受约束

为了更好地反映控制效果，我们这里对控制的输入项不设限制，即，也就是说，无论受到的干预强度有多大，系統都有能力进行控制，使尽可能趋于稳定，当然这是基于理想情况下的。

4.2.2 控制受约束

在实际当中，系统的输入一般都会受到某种约束，即，例如，对控制力大小的限制;对能耗的约束等等，因此，当系统受到的干预强度较大的时候，对该系统的控制面临心有余而力不足的实际现实。虽然此种情况的控制效果不甚理想，但是更加符合实际情况，更具实际意义。并且（为了满足条件）。相对于控制不受约束的情况，研究方法不变，和发生改变，主要是因为不能实现。

5 预测及控制各种情况的分析

5.1 控制是否基于强干预对系统输出的影响

首先，我们考虑最小方差控制不针对预期强干预，最小方差控制不针对预期强干预，在系统面临强干预时，对稳定系统输出无任何作用[10]。

接下来的是最小方差控制基于预期强干预所得到的，即在系统受到强干预时，立马对该系统进行有效控制，故控制相当有效。

为了使具有可比性，令初始干预时刻，终止干预时刻一致，并且输入无约束，即可以进行完美的控制，无现实中存在的诸多限制。可以得出最小方差控制基于预期强干预的系统输出明显好于控制不针对预期强干预。因此，我们可以认为控制考虑预期强干预是十分必要的，控制效果也是十分有效的。

5.2 输入是否受约束对系统输出的影响

因为实际中控制很难做到随心所欲，往往受到规模、人力、物力、财力还有自然条件等各种限制，控制一般只能做到相对最优，并不能像理论这么完美，所以针对输入是否受约束这种情况的讨论时非常有必要的。

终止干预时刻比较特殊，就是强干预一旦发生就不再终止。且初始干预时刻都想相同。可以看出，无论是否无穷，对系统输出均无显著影响，不过只要强干预还在，控制项也随之持续。唯一对系统输出有影响的是输入是否受限制。显然，当输入受约束时，即使进行及时有效的控制，系统还是受到强干预的影响。

5.3 不同初始干预时刻对系统输出的影响

在以下分析中，我們统一将实际上真正发生强干预初始时刻记为，将预测的初始干预时刻记为。真正发生强干预终止时刻记为，预测的终止干预时刻记为。由于是人为的预测，所以其预测值与真实值之间必然存在一定的误差。一般有三种情况：。

假定整个系统所持续的时间，令实际初始干预时刻。并且以下三种情况都令，这样就不必考虑终止干预时刻对系统输出的影响。还有以下三种情况都是输入无约束的，能进行有效控制。

第一种情况在，即预测值等于实际值，此为最理想模型。由上图可知，由于精确的预测，故在系统受到强干预的情况下，能做出及时有效的控制，使输出基本趋于稳定，此控制效果明显。

第二种情况在，即预测值小于实际值由上图可知，通过较早的有力控制，系统在受到强干预的情况下，输出基本趋于稳定，此控制效果明显。

第三种情况较为特殊，当，即预测值大于实际值。换而言之，在还没有到我们预测的强干预发生时刻之前，事实上，针对该系统的强干预已经发生。简单地说，也就是预测失败。既然预测失败，则控制发生的时间也就不再是预测的时刻，而是实际上干预发生的下一个时刻。皆因预测时晚于实际强干预发生时刻，所做的相应控制相对滞后。此控制效果差强人意。

由以上三种情形可知，对初始干预时刻的准确预测至关重要。所以，在一般不能精确预测初始干预时刻的情况下，应当稍稍提前预测初始干预时刻，并及早采取相应措施进行控制才能事半功倍。否则，一旦预测时刻晚了，即使控制输入不受约束，控制效果也不是十分理想，只能说是事倍功半。

6 结论

本项目所研究的系统预期强干预，在现实实践中有着广泛的应用。并且，相比以有的所研究的干预分析，提出了更新的概念，更有实际意义。首先，我们强调的是“预期”，即研究在可预见的未来发生的强干预，这样，便能对即将到来的强干预有所准备，使其影响减至最小，比之，研究过去发生的干预事件更具实际意义;其次，再考虑是“强干预”，即干预强度必须非常大，从而，便可忽略系统本身所带的小干扰。此外，我们还预测了的不同的初始干预时刻（终止干预时刻）对系统输出的影响并进行分析，比较而后得出结论。在发生强干预之后，对系统进行的控制并分析，比较不同的控制对系统输出的影响，例如：是否考虑预期强干预;输入是否有约束等等。由于，本项目所研究的内容极其复杂以及时间原因，故我们只研究其中最为简单的一阶线性时间控制系统。现今，干预分析越来越成为热门研究课题，相信在众多专业学者的努力下，相关理论会发展得更加成熟，解决更多的实际问题。

参考文献

[1] 方兆本，缪柏其.随机过程（第二版）[M].北京：科学出版社，2004

[2] B. O. D. Anderson and J. B. Moore. 最佳滤波[M]：国防工业出版社，1979

[3] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程 [M].北京：高等教育出版社，2004

[4] 冯文权.政策干预或突发事件影响的统计分析模型[J].统计与决策，1990（6）.

[5] G. Yu， X. T. Qi， Disruption management：framework， models， solutions， and applications， World Scientific Publishers， July， 2004.

[6] G. E. P. Box， G. M. Jenkins， G. C. Reinsel， Time series analysis：forecasting and control， 3rd Ed. [M]，英文影印版.人民邮电出版社， 2005.

[7] C. K. Chui and G. Chen， Kalman Filtering with Real-time Applications， Springer Press， 2009， 4th Edition.

[8] 盖如栋.基于预期强干预的单输入离散时间系统的建模、预测与控制研究.技术报告，淮阴工学院，2010.

[9] 刘次华，随机过程及其应用，北京高等教育出版社，2004.

[10] 盖如栋.论临界稳定的一阶线性离散时间系统在预期强干预条件下的改进的最小方差控制[J]，Asian Journal of Control，2008.7：pp.1-8.