欧拉刚体旋转定理虚拟实验设计*

◆崔玉鑫 杨彬 杨洋 王超飞

0 前言

欧拉旋转定理[1]是由瑞士著名数学家和物理学家莱昂哈德·欧拉提出的：刚体绕定点的任意有限转动可由绕过该点某根轴的一次有限转动实现。可理解为刚体从一个姿态运动到任意一个姿态可由绕某根轴一次转动某个角度实现。该轴称为欧拉一次转轴，该角称为欧拉一次转角。

欧拉旋转定理是刚体运动学中非常经典的定理之一，其研究意义在于：一方面，它是转动四元数和欧拉四元数姿态坐标的理论依据；另一方面，该定理蕴含了刚体姿态问题的几乎所有内容，理解了该定理也就弄清了刚体姿态问题的实质。但由于欧拉旋转定理非常抽象[2-3]，在三维空间一般很难找到欧拉一次转轴和欧拉一次转角，必须经过复杂的计算才能获得，即使这样也很难想象绕欧拉一次转轴转动欧拉一次转角后，刚体能够转到什么姿态，使得学生学习起来很困难。为此，本文借助国家级虚拟仿真实验教学中心——机械虚拟仿真实验教学中心的建设机会，设计一套证明欧拉旋转定理的虚拟实验台。

1 实验台总体结构与实验原理

实验台结构与作用 如图1所示，该实验台由两个装置组成，即装置一和装置二。

图1 欧拉旋转定理虚拟实验台视图

装置一的作用是设定刚体在空间中某一任意姿态。上端的类似长方体的物体代表刚体，下端为支座，刚体与下端支座之间通过一个万向节和一个转动铰相连，使得刚体与支座之间有三个相对自由度，从而能够达到有限范围内的任意姿态。……