曲线轨道钢轨横向振动频域响应特性研究

杜林林，刘维宁，刘卫丰，马龙祥

(1.北京起重运输机械设计研究院有限公司， 北京 100007；2.清华大学 土木工程系， 北京 100084；3.北京交通大学 土木建筑工程学院， 北京 100044；4.西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031)

受城市既有布局的约束，同时兼顾客流分布的需求，城市轨道交通线路设计中往往设置大量的曲线轨道[1-3]。以北京地铁为例，据不完全统计，不同线路曲线轨道占线路总长度的30%～50%。列车通过曲线轨道时产生的诸多问题一直是行业关注的焦点，如曲线轨道处的钢轨波磨[4]。特别是，列车通过曲线轨道时引起的环境振动影响中，水平向振动强度大于铅垂向振动强度的特殊现象[2]，现阶段对其机理分析仍然很不充分。

地铁列车运行于曲线轨道上时，通过设置曲线超高平衡列车离心力作用。曲线超高设置后即为固定设施，而列车实际运行速度，根据线路运营管理的需求，往往或大于或小于设计速度，造成曲线超高设置与实际行车速度不相适应的情况。此时，在未被平衡的离心力或向心力作用下，列车通过曲线轨道时车辆-轨道间将产生较为复杂的法向及蠕滑(包括横向、纵向、旋转)轮-轨相互作用，由此将产生较强的轨道横向振动，对地表横向振动产生影响[5]。为了研究列车通过曲线轨道时引起的地表横向振动响应特性，应首先明确曲线轨道的横向动力响应特性。由于频响函数能够有效反映曲线轨道结构的振动特性，本文将通过分析频响函数研究曲线轨道横向振动频域响应特性。

对轨道结构动力响应特性的研究方法主要分为试验测试法、理论模型分析法，其中理论模型分析法以其独特的优势被广泛采用。针对曲线轨道动力学理论分析模型的研究，以往多采用直线梁模型模拟钢轨的垂向、横向弯曲振动以及扭转振动。如王开云[6]采用直线Euler-Bernoulli梁(以下简称Euler梁)模拟曲线轨道钢轨，建立三层离散点支承曲线轨道模型，对曲线轨道轮轨性能匹配问题开展了研究；Zhou等[7]采用直线Timoshenko梁模拟钢轨，建立了三层离散点支承曲线轨道模型，研究了扣件失效情况下列车通过曲线段时的动力性能；Martínez-Casas等[8]视曲线轨道为圆形轨道结构的一部分，将圆形轨道视为周期性结构，采用直线Timoshenko梁模拟钢轨，研究了不同轨道波磨条件下的轮-轨相互作用力。但以上研究均忽略了曲率半径对曲线轨道动力响应特性的影响。

随着轨道动力学的发展，针对曲率半径对轨道结构动力响应的影响问题，部分学者开展了研究。

笔者曾通过考虑曲率半径的影响，建立了离散点支承的曲线轨道力学模型，但该模型仅针对平面外振动响应进行了分析，未研究平面内横向振动响应[9]。针对曲线梁横向振动的研究，Culver等[10]采用Rayleigh-Ritz法并结合Lagrange算子法，得到了两跨曲梁的横向振动频率响应；Chen[11]根据相邻跨之间的弯矩关系，结合边界条件，研究了离散周期支承曲线梁的平面内自振频率特性；Yang等[12]通过模态叠加法研究了离心力作用下简支曲线Euler梁的平面内振动响应，计算中仅取了梁的一阶模态。以上学者主要研究了曲线梁的动力响应。关于曲线轨道横向振动特性的研究，Kostovasilis等[13]采用曲线Timoshenko梁模拟钢轨，建立可以考虑垂向/横向相互作用的连续支承曲线轨道动力解析模型，得到了曲线轨道垂向/横向耦合对轨道动力响应的影响；Dai等[14-15]采用曲线Euler梁模拟钢轨，采用三角函数法拟合曲线梁的变形，得到了连续支承曲线Euler梁稳态动力响应。以上研究中均忽略了离散支承对曲线轨道动力响应的影响。

总之，以往针对曲线梁横向振动的研究多集中在简支曲梁，而关于曲线轨道横向振动响应特性的研究忽略了离散支承或曲率半径的影响。因此，有必要建立考虑离散支承及曲率半径影响的曲线轨道平面内振动解析模型，并对其横向动力响应特性进行研究。

为了得到曲线轨道横向振动频率响应特性，本文将建立一个考虑离散支承以及曲率半径影响的曲线轨道平面内振动力学模型。将该模型映射至一个具有相同半径的虚拟的圆形环梁中，利用圆形环梁的周期性条件，在一个基本元之内求解曲线轨道钢轨的横向振动响应。利用轨道结构频域动力响应的基本性质，通过定义钢轨数学模态以及广义波数，进而采用傅里叶级数表示曲线轨道钢轨平面内振动响应。最终，得到力学概念清晰的曲线轨道平面内振动频域解析模型，并分析曲线轨道横向振动频域响应特性。

1 曲线轨道钢轨平面内动力响应求解

1.1 曲线轨道钢轨平面内振动力学方程

采用理论方法对曲线轨道平面内振动响应进行分析，在建立曲线轨道力学模型时，采用曲线Euler梁模拟曲线轨道钢轨，采用弹簧阻尼支点单元模拟扣件，即可采用等间距离散点支承的钢轨模型模拟曲线轨道，如图1所示。此时，在横向单位移动谐振荷载eiωFt作用下，曲线轨道钢轨平面内振动力学方程组[16-21]为

图1 曲线轨道平面内振动力学模型

(1)

(2)

为了在频域内对方程式(1)、式(2)进行求解，首先需要对方程组内的变量t进行傅里叶变换，有

(3)

(4)

图2 钢轨横断面支承-约束示意图

1.2 周期性结构动力响应的频域模态叠加法

本文研究曲线轨道钢轨的横向动力响应，其中曲线轨道指具有恒定曲率半径的有限长圆弧(暂不包括缓和曲线)。为了求解有限长曲线轨道的动力响应，可将曲线轨道力学模型映射至一个具有相同半径的虚拟的圆形环梁中[8]，如图3所示。将该虚拟的圆形环梁视为以支点间距L为基本周期长度的周期性结构，称其周期长度L为基本元。结合周期性结构的性质，可对曲线轨道钢轨平面内动力响应进行求解。

图3 曲线轨道周期性

根据移动谐振荷载作用下周期性结构的频域动力响应性质[23]，钢轨平面内频域动力响应满足

(5)

在利用周期性结构性质对曲线轨道平面内振动响应进行分析时，基本元与相邻单元的位移、内力关系如图4所示。

图4 基本元与相邻单元平面内振动相互作用关系

以图4所示基本元与左侧相邻单元为例，基本元左端位移、内力构成的状态向量SkL与左侧单元右端位移、内力构成的状态向量S(k-1)R满足位移协调和力的平衡

SkL=S(k-1)R

(6)

(7)

(8)

根据周期性结构性质，基本元左端点状态向量SkL和右端点状态向量SkR之间满足

SkR=ei(ωF-ω)L/v·SkL

(9)

(10)

(11)

结合式(5)与式(11)，有

(12)

(13)

式中：Cn(ω,ωF)为傅里叶级数系数；ξn=2πn/L。

(14)

结合以上推导过程，定义钢轨数学模态[25]为

(15)

(16)

式中：N为钢轨数学模态计算上限，计算钢轨数学模态数记为NMR，取为2N+1，即NMR=2N+1。

为了便于方程求解，定义广义波数[26]为

κ=(ω-ωF)/v

(17)

结合式(14)中采用级数表达钢轨平面内动力响应的方法，可采用钢轨数学模态以及对应的模态坐标表示曲线轨道钢轨的平面内动力响应，即

(18)

根据周期性结构的性质，采用频域内钢轨数学模态叠加法可对曲线轨道结构平面内动力响应进行求解。

1.3 曲线轨道钢轨频域动力响应的求解

(19)

(20)

联立方程式(19)、式(20)，整理可得

G(κ,ωF)U(κ,ωF)=P(κ,ωF)

(21)

解式(21)可得

(22)

e-inκLB(z,κ,ωF)U(κ,ωF)=

(23)

1.4 曲线轨道钢轨横向振动频率响应函数计算

对钢轨横向位移频域响应作逆傅里叶变换，得

(24)

令v=0，固定谐振荷载下钢轨横向位移响应为

(25)

横向位移响应幅值为

(26)

采用数值积分法对式(26)进行求解，得

(27)

经以上分析，得到曲线轨道钢轨横向位移频响函数的求解方法，经过Matlab数学软件编程，可实现动力响应求解，程序求解思路如图5所示。

图5 平面内频率响应函数求解思路

2 曲线轨道钢轨频率响应函数分析

2.1 钢轨频率响应函数计算

分析曲线轨道钢轨横向振动频率响应函数，不同于列车通过曲线轨道时的轮-轨横向动态耦合研究，曲线超高、轨底坡等因素会对列车运行时产生的不平衡力以及轮轨接触状态产生显著影响[6]。本节主要研究固定谐振荷载作用下曲线轨道钢轨横向振动频率响应特性，可忽略超高、轨底坡等因素的影响。

在分析曲线轨道钢轨横向位移频率响应函数时，以地铁整体道床轨道为例进行计算，轨道采用DTVI2扣件，钢轨及DTVI2扣件参数见表1。为保证计算精度，钢轨数学模态数取为21，κ取值范围为[-40，40]，Δκ取0.039。

表1 T60钢轨及DTVI2扣件参数[27]

对于轨道系统来说，扣件的离散支承引起了轨道结构刚度的周期性变化，其中扣件支承点处刚度最大，相邻扣件支点跨中处刚度最小。由扣件支承引起的刚度变化将对轨道结构的动力响应特性产生影响。不同位置处轨道系统的刚度不同，这将对频响函数产生影响。为充分反映曲线轨道钢轨横向位移的频响特性，选取刚度最大的支点位置以及刚度最小的相邻支点跨中位置进行计算，其中激振点与拾振点的关系如图6所示，计算结果如图7所示。

图6 不同位置处频响函数布置图

为了对比由离散支承产生的刚度变化对钢轨横向位移频响函数的影响，同时计算了连续支承曲线轨道钢轨横向位移频率响应函数，其中连续支承等效刚度与离散支承相同，计算结果如图7所示。

图7 钢轨横向位移幅频、相频响应函数

由图7可知：

(3)对比离散支承钢轨支点处和跨中处与连续支承钢轨的幅频、相频响应函数可知，离散支承引起了钢轨横向pinned-pinned振动峰值响应；该响应在跨中处取得最大值，在支点处取得最小值。

由以上分析可知，离散支承使曲线轨道钢轨横向位移产生了pinned-pinned振动峰值响应。接下来研究离散支承参数以及曲线半径等因素对曲线轨道钢轨横向振动频响特性的影响。

2.2 支承刚度及阻尼系数对曲线轨道钢轨横向位移频响函数的影响

对支点的物理参数进行分析，研究支点横向支承刚度以及阻尼系数对钢轨横向振动频响函数的影响。

在研究横向支承刚度的影响时，刚度选取为12.5、37.5、50.0 MN/m。在研究横向支承阻尼系数的影响时，阻尼系数选取为4.175、16.700、29.225 kN·s/m。由于支点处及跨中处钢轨频响函数可以充分反映钢轨横向振动频响特性，本节分析指标即为支点处和跨中处的频响函数。其余计算参数如表1所示。

图8为横向支承刚度对钢轨横向位移幅频、相频响应函数的影响。

图8 横向支点刚度的影响

由图8可知：

(1)根据计算公式求得不同横向支承刚度所对应的一阶自振频率分别为86、157、183 Hz，与图8中计算结果吻合良好。

(2)在低于一阶自振频率频段的振动中，钢轨振动性质类似于单自由度质量-弹簧系统，一阶自振频率的增大程度是横向支承刚度增加程度的均方根值，且一阶自振频率点处的响应幅值随刚度的增加而降低。

(3)支点横向支承刚度的变化对钢轨横向pinned-pinned振动峰值响应没有影响。

(4)在一定频率范围内(250 Hz以内)，钢轨横向振动响应与荷载相位差随着支点横向支承刚度的增加而减少，振动响应同步性增强。

图9为横向支承阻尼系数对钢轨横向位移幅频、相频响应函数的影响。

图9 横向支承阻尼系数的影响

由图9可知：

(1)根据计算公式求得不同支承阻尼系数所对应的一阶自振频率分别为132、127、115 Hz，与图9中计算结果吻合良好。

(2)在低于一阶自振频率频段的振动中，钢轨-支承横向振动表现为单自由度质量-弹簧系统振动，一阶自振频率随横向支承阻尼系数的增加而略有减小；响应幅值随阻尼系数的增加而显著降低。

(3)支点横向支承阻尼系数变化对钢轨横向pinned-pinned振动峰值频率没有影响；但响应峰值随着阻尼系数的增加而略有增大。

(4)当荷载频率小于一阶自振频率时，相位差随着支点横向支承阻尼系数的增加而增大，振动同步性降低；当荷载频率大于自振频率时，相位差随着阻尼系数的增加而减小，振动同步性增强。

2.3 曲线半径及支点间距对曲线轨道钢轨横向位移频响函数的影响

2.2节分析了支点物理参数对钢轨横向振动频响函数的影响，现讨论曲线轨道钢轨的曲率半径以及离散支承间距等参数对钢轨横向振动频响函数的影响。

在研究曲线半径的影响时，选取曲线半径分别为100、300、500 m进行计算。在研究支点间距的影响时，选取支点间距分别为0.45、0.6、0.9 m进行计算。分析指标为支点处和跨中处的钢轨横向位移频响函数。其余计算参数见表1。

图10为不同曲线半径时的钢轨横向位移幅频响应函数以及部分半径对应的相频响应函数。

图10 半径对钢轨横向位移频响函数的影响

由图10可知：

(1)曲线轨道钢轨横向振动一阶自振频率及响应幅值不受曲线半径变化的影响。

(2)曲线轨道钢轨横向pinned-pinned振动峰值及峰值频率不受曲线半径变化的影响。

(3)地铁曲线轨道半径对钢轨横向位移频响函数几乎没有影响。

图11为支点间距对钢轨横向位移幅频、相频响应函数的影响。

图11 支点间距的影响

由图11可知：

(1)根据计算公式求得不同支点间距所对应的一阶自振频率分别为144、127、105 Hz，与图11中计算结果吻合良好。

(2)在低于一阶自振频率频段的振动中，钢轨-支承横向振动表现为单自由度质量-弹簧系统振动，支点间距减小，相当于增加了钢轨横向支承刚度及阻尼，因此，一阶自振频率随支点间距的减小而增大，且一阶自振频率点处的响应幅值随支点间距的减小而降低。

(3)由pinned-pinned振动峰值频率计算公式求得不同支点间距对应的一阶pinned-pinned振动峰值频率分别为1 038、584、260 Hz，与图11中计算结果吻合良好。

(4)支点间距减小时，振动峰值频率增加，振动幅值降低；当支点间距减小一半时，振动峰值频率增大4倍。

3 结论

本文采用曲线Euler-Bernoulli梁模拟曲线轨道钢轨，建立了离散点支承曲线轨道平面内振动响应频域解析模型，其具有力学概念清晰准确、求解高频响应效率高的特点。利用该模型计算分析了支点横向支承刚度、阻尼系数、曲线半径及支点间距对曲线轨道钢轨横向振动位移频响函数的影响，得到以下结论：

(1)曲线轨道钢轨横向振动一阶自振频率为单自由度质量-弹簧体系自振频率；调整支点横向支承刚度及阻尼系数，仅对改变一阶自振频率有一定效果。

(2)扣件支点横向支承刚度对钢轨横向pinned-pinned峰值响应几乎没有影响，扣件支点横向支承阻尼系数对钢轨横向pinned-pinned峰值响应影响很小。

(3)曲线轨道离散支承引起了钢轨横向pinned-pinned振动峰值；通过调节扣件支点间距，可以有效地调整轨道结构动力响应显著频段的分布范围。

(4)地铁轨道正线最小曲线半径为300 m，半径对曲线轨道横向位移频响函数几乎没有影响。