非对称锥优化问题KKT函数的B次微分非奇异性与非退化性条件

赵金阳,王诗云

(沈阳航空航天大学 理学院，沈阳 110136)

考虑下面的一类非对称锥

K={(s,s0)∈Rn×R:eTs≤ks0,0≤s≤s0e}

其中k>0,e表示所有元素为1的向量。在以前的工作中，已经得到了K上投影算子的闭形式[1]、变分几何性质[2]以及投影算子的B次微分[3]。本文考虑如下的优化问题:

minf(x)

G(x)∈K.

(1)

其中函数f:Rm→R和G:Rm→Rn×R是二次连续可微的。为了方便起见，令

K=:={(s,s0)∈Rn×R:eTs=ks0,0≤s≤s0e}.

本文研究KKT函数的强二阶充分条件、约束非退化性、B次微分非奇点与KKT点强正则性之间的关系。

K上的投影算子有着广泛的应用，可以参考。其中Liu等[1]得到了该投影算子的闭形式。本文用∏K(·,·)来表示K上的投影算子。

最优解的灵敏度和稳定性分析是优化问题中最重要的研究领域之一，它与最优条件和增广拉格朗日方法有着密切的联系。对于多面体的情况，许多学者取得了优秀的研究成果，例如， Rockafellar[11]，Kojima[12]，Robinson[13]，latte等[14]，Bonnans等[15]。然而，这些成果并没有建立起最优解与KKT系统之间的联系。Sun[16]和Chan[17]在研究非线性半正定的规划问题时，研究了KKT函数的强二阶充分条件、约束不变性、B次微分非奇异性与KKT点强正则性之间的关系。此后出现了许多类似的结果:二阶锥的线性规划情形可参考文献[18]；一般对称锥的线性规划情形可参考文献[21]；非对称锥的线性规划情形可参考文献[22]。

基于在K上的投影算子的广泛应用以及灵敏度分析在优化问题中的重要性，本文侧重建立最优化问题(1)的强二阶充分条件、约束不变性、KKT函数的B次微分非奇异性和局部最优解的强正则性的联系。

1 符号说明和预备知识

B={z∈Rn:0≤z≤e,eTz≤k},

(2)

α:={i∈[1:n]:xi≤σ},

β:=[1:n](α∪β)

(3)

(4)

其中σ是(x,x0)的参数，它的值可参照文献1中，命题2.2和算法3.1。