具强阻尼的Sine-Gordon型吊桥方程的长时间动力学行为研究

吕鹏辉，吕小俊

(苏州大学 应用技术学院，江苏 苏州 215325)

本文所研究的具强阻尼的Sine-Gordon型吊桥方程的长时间动力学行为：

utt-Δut+Δ2u+k2u++g(sinu)+f(u)=h(x)，(x，t)∈Ω×[0， ∞)，

(1)

u(x， 0)=u0(x),ut(x， 0)=u1(x)，x∈Ω，

(2)

u(x，t)=Δu(x，t)=0，x∈Γ.

(3)

其中Ω是R中具有光滑边界的有界域， 其光滑边界为Γ，k2是弹性系数， 函数为：

1990年吊桥方程由A.C.Lazer和P.J.Mckenna[1]作为非线性分析领域的新问题提出， 该方程描述了吊桥路面在垂直平面内的震动． 吊桥方程提出来之后， 众多学者对该模型进行了许多相关研究． 其中：Park等[2]得到了非线性阻尼吊桥方程的整体吸引子的存在性； 刘世芳等[3]研究了带有历史记忆的阻尼吊桥方程的长时间行为， 并通过利用收缩函数的方法， 获得解在强拓扑空间下全局吸引子的存在性． 随着对该方程地研究深入， 许多学者对各类吊桥方程的长时间性态进行了研究， 如自治吊桥方程的整体吸引子[4-5]， 维数估计[6-7]， 吊桥方程的指数吸引子[8-9]， 非自治吊桥方程的拉回吸引子[10-11]等. Sine-Gordon方程是波动方程中的一个重要模型， 具有丰富的物理背景， 对该类方程的长时间行为(包括整体吸引子、 指数吸引子、 维数估计等)也有许多学者进行了研究， 可参见文献[12—16]及其他相关文献． 张建文等[12]利用算子半群理论证明了在一定边界条件下系统存在连续解， 并且由算子半群分解的方法构造出渐近紧的不变吸收集， 进而得到系统整体吸引子的存在性．

有许多学者[17-19]研究了Kirchhoff型吊桥方程的长时间动力学行为． 而有关Sine-Gordon型吊桥方程的研究相对甚少． 因此， 本文在前人研究的基础上， 根据吊桥方程和Sine-Gordon方程的……