关于共形向量场的Ricci平均值及应用

何 雅，吴元芬

(云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650500)

1 主要定理

共形向量场是微分几何中的一个必不可少的组成部分． 若流形M上的一个向量场ξ所诱导的局部单参数可微变换群是共形变换群， 则称向量场ξ是M上的一个共形向量场， 下面给出共形向量场的定义[1]．

设ξ为黎曼流形(Mn,g)上的光滑切向量场， 如果在M上存在一个光滑函数ρ满足：

则称ξ为共形向量场， 其中Lξ是度量g关于ξ的李导数，ρ为共形向量场ξ的势函数． 特别地， 当ρ为零时，ξ称为Killing向量场[2]， 其诱导的局部单参数可微变换群是等距变换群． 若ξ是闭的向量场， 那么ξ称为闭的共形向量场； 若ξ是某个光滑函数的梯度向量场，ξ则称为共形梯度向量场．

许多作者[3-4]研究了具有常纯量曲率， 且存在共形向量场的黎曼流形在一定的条件下等距于欧氏空间中的球， 而黎曼流形上存在共形梯度向量场在文献[5—6]中已被研究． 本文主要考虑共形向量场的Ricci平均值， 下面给出Ricci平均值的定义．

设(Mn,g)是n维黎曼流形，M上的一个光滑向量场X的Ricci平均值定义为：

其中V为M的体积，Ric为M上的Ricci张量．

在文献[7]中， Yano等证明了如下定理．

定理1设(Mn,g)(n≥2)是一个紧定向的黎曼流形，Ric为M上的Ricci张量， 若M上的共形向量场ξ满足Ric(ξ,ξ)≤0， 则ξ必为平行向量场， 且Ric(ξ,ξ)=0当且仅当ξ是Killing向量场．

然而， 该定理没有给出Ric(ξ,ξ)=0时流形的分类， 因此， 本文在较弱的假设条件下给出了流形的分类， 于是得到了下面的结果．

定理2设(Mn,g)(n≥2)是一个紧定向的黎曼流形， 若Mn上存在非零的共形向量场ξ， 则关于ξ的Ricci平均值δ(ξ)≥0． 特别地……