基于波动理论的聚波器几何参数设计

段 剑，汤振鹤，孙良文，刘泽军，王兆旭，王浩全

(1. 山东非金属材料研究所，山东 济南 250031； 2. 中北大学 信息与通信工程学院，山西 太原 030051)

0 引 言

在管道内外压差一定的情况下，气体会通过管道泄漏孔发出一定频率的超声波，依据该声波信号可以实现泄漏孔的定位和孔径当量分析[1]. 超声波具有很强的方向性和衰减性，随着距离增加，声压幅值衰减严重. 为了解决这一问题，可以在接收传感器前增加聚波器的办法来实现.

本设计利用COMSOL软件分析了不同形状、长度及锥度的聚波器内的声场分布情况，为设计合适的聚波器提供参考.

1 聚波器的数值分析

在波阵面不变的特殊情况下，波动方程可表示为

(1)

聚波器的截面面积是关于x的函数S=S(x).当波阵面形状随聚波器截面面积变化时，波动方程解的形式为p=p(x)ejωt，把该解代入式(1) 可得到变系数常微分方程.

(2)

在无反射波的情况下，其解可表示为变系数的指数函数

p(x)=A(x)ejγx.

(3)

从式(3)可得，只要确定了参数A(x)和γ，就可以得出声压值[5-7].

将式(3)代入式(2)可得到如下关系式

(4)

从式(4)可以看出，当实部与虚部均为0时，等式成立，即

(5)

(6)

(7)

将式(7)代入式(6)得

(8)

由式(7)、式(8)可知，只需得出聚波器截面半径与轴向距离的关系，即可得聚波器内部的声压幅值[8-10].

2 聚波器截面变化规律及声场分析

2.1 锥形聚波器

图 1 为锥形聚波器二维轴对称图，长度为l，两端半径分别为r1、r0，由图可知锥形聚波器的截面半径r与距离x的关系为

(9)

式中：l为聚波器的长度;r0为B端口半径；r1为A端口半径.

图 1 锥形聚波器结构示意图Fig.1 Schematic diagram of conical wave collector structure

(10)

结合式(10)和式(3)分析可知，随着聚波器半径逐渐减小，A(x)逐渐增大，声压幅值也逐渐增加. 所以，在超声波测漏仪中引入锥形聚波器具有增强声压幅值的作用.

2.2 指数形聚波器

图 2 为指数形聚波器的二维轴对称图，长度为l，两端半径分别为r1、r0，由图可知截面半径与距离x的关系为

r(x)=r1eδx，

(11)

式中：r0为聚波器底端的半径；δ为聚波器的蜿蜒度.

图 2 指数形聚波器结构示意图Fig.2 Schematic diagram of exponential wave collector structure

将式(11)代入式(8)和式(9)可得

(12)

(13)

结合式(3)有

(14)

由于指数形聚波器为渐缩形管，所以蜿蜒度δ为负，由式(12)可知，随距离x的增加，截面半径逐渐减小，所以A(x)逐渐增大，声压振幅逐渐增强.由此可知，指数形管聚波器可以增强声压的幅值.

3 仿真模型建立

聚波器为三维轴对称结构，为了降低计算难度，可使用二维轴对称结构进行建模. 设聚波器两端端口分别为A端口和B端口(见图 3)，其中，B端口半径为0.8 cm.

图 3 聚波器二维轴对称模型Fig.3 Two-dimensional axisymmetric model of wave concentrator

本设计采用压力声学物理场下的瞬态接口模型，在A端口上部10 cm处设置一个频率为40 kHz 的声源，声源振动的法向速度如图 4 所示.

图 4 声源振动的法向速度Fig.4 Normal velocity of sound source vibration

本文仅对聚波器的几何参数进行分析，不考虑材料属性，因此，设置聚波器的边界为硬声场边界. 为防止其余边界对检测结果造成影响，在剩余边界处添加完美匹配层和阻抗边界以防止声波反射的干扰.

4 实验结果与分析

在COMSOL软件中分别建立锥形聚波器模型和指数形聚波器模型，设置聚波器长度均为10 cm，A端口截面半径均为2.56 cm，经网格划分及仿真计算可得声压分布图，如图 5，图 6 所示.

图 5 锥形聚波器声压分布图

图 6 指数形聚波器声压分布图Fig.6 Sound pressure distribution diagram of exponential wave collector

声波进入聚波器后，经聚波器壁面的反射不断叠加，使其声压不断加强，与上述理论推导结果相符. 通过比较图 5 和图 6 两种聚波器可知，在A端口截面面积相同的情况下，声波在锥形聚波器中叠加效果明显优于指数形聚波器.

为了更直观地比较锥形聚波器与指数形聚波器的效果，分别在聚波器的中心轴上设置5个测量点，距离间隔2 cm. 测量结果如图 7 所示.

图 7 聚波器轴向距离的声压Fig.7 Sound pressure of axial distance of wave concentrator

通过比较图 7 中的折线，可以直观地看出指数形聚波器声压在8 cm处达到最高，大约为1 Pa，而锥形聚波器的声压为逐渐递增.

4.1 锥形聚波器对声压的影响

当锥形聚波器的锥度10°时，对长度范围7 cm～15 cm的锥形聚波器进行仿真分析，得到锥形聚波器长度与声压的关系图，如图 8 所示.

图 8 锥形聚波器长度与声压的关系Fig.8 Relationship between the length of conical wave collector and sound pressure

聚波器对声压的增强与声波在聚波器内的叠加有关，在一定范围内，声波叠加次数越多，其声压越强. 由图 8 可知，聚波器长度为11 cm时，对声压的增强效果最好.

当锥形聚波器长度为11 cm时，对锥度范围为7°～15°的锥形聚波器进行仿真分析，可得到锥度与声压的关系图，如图 9 所示.

图 9 锥形聚波器锥度与声压的关系Fig.9 Relationship between taper and sound pressure of conical wave collector

从图 9 可以看出，锥形聚波器的锥度为10°时，B端口的声压值最高，约为1.33 Pa.

4.2 指数形聚波器对声压的影响

对于指数形聚波器，在蜿蜒度为-9的情况下，对长度范围7 cm～15 cm的情况作了仿真分析，得到长度与声压的关系图如图 10 所示，由图可知，指数形聚波器长度为14 cm时效果最好.

图 10 指数形聚波器长度与声压的关系Fig.10 Relationship between length of exponential wave collector and sound pressure

当指数形聚波器长度为14 cm时，指数随声压的关系图如图 11 所示.

由图10、图11可知，指数形聚波器长度为14 cm，蜿蜒度为-8时效果较好，但与锥形聚波器相比，效果较差.

图 11 指数形聚波器蜿蜒度与声压的关系Fig.11 Relationship between sinuosity and sound pressure of exponential wave concentrator

5 结 论

本文从质点振动出发，在建立超声波在介质中传播波动方程的基础上，假设无反射波的情况下，推导出了聚波器内部的声压与截面半径和轴向距离的数学表达式. 利用COMSOL软件进行了仿真实验，得出长度为12 cm锥度为10°的锥形聚波器对声压幅值影响最大的结果，为工程应用奠定了基础.