一类双变量几何概型题的探究

中山市桂山中学(528463)蔡晓波

几何概型中的双变量类型的题目是学生学习的一个难点,本文以人教版必修3 第142 页[1]的一道习题为例对其进行变式探究.

一、课本题目与解答

题目甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 个小时,假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少一艘在停靠泊位时必须等待的概率.

分析1甲乙两艘轮船均是随机到达,故将甲乙两艘船到达时间分别视作x,y,故问题转化为仅需根据题意列出x,y的约束条件和题目要求的关于x,y的目标不等式即可求解.

解法1设甲到达泊位的时间为x,乙到达泊位的时间为y,依题意可得:而这两艘船中至少一艘在停靠泊位时必须等待等价于|x−y|<6,即−6

图1

分析2此题有2 个变量,故我们可用主元的思想来达到降低变量的个数,这两艘船中至少一艘在停靠泊位时必须等待实际上包含2 种情况:①乙船先到且甲必须等待;②甲船先于或者同于乙船到达且乙必须等待.且由对称性可知这2 种情况概率相等,故仅需分析其中一种情况即可.古典概型中,我们可以把满足要求的情况相加除以总情况得出,而几何概型是连续不断的,而积分正好是用于“连续不断相加”的有力工具,故可以结合积分来解决该问题.

解法2设故这两艘船中至少一艘在停靠泊位时必须等待的概率为P,乙船先到且甲必须等待的概率为P1

根据甲乙到达时间的对称性可得P=2P1,设甲到达泊位的时间为x,乙到达泊位的时间为m,故……