一般二次曲线中点弦公式及其应用

金亚南 (江苏省无锡旅游商贸高等职业技术学校 214000)

文[1]以标准方程的形式给出了由弦中点坐标表示椭圆、双曲线、抛物线相应的弦的斜率的三个公式.本文对此推广，给出一般二次方程表示的二次曲线的弦的斜率与弦的中点坐标的关系式，并称此为中点弦公式．这样，文[1]中的三个公式就是一般中点弦公式的简单推论．同时，我们还运用中点弦公式给出一般二次曲线共点弦族与平行弦族中点轨迹方程的一般形式．

1 一般二次曲线的中点弦公式

平面上，由关于x,y的二元二次方程表示的曲线C称为二次曲线，简记为C:F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0．

以二次曲线C内部一点M(x0,y0)为中点的弦称为以M为中点的中点弦．由于二次曲线C的中点弦P1P2由其相应的中点M(x0,y0)完全确定，因此弦P1P2的斜率k由中点M的坐标(x0,y0)可完全确定，从而k为关于x0,y0的函数k=k(x0,y0)．这个函数的具体表示由下述定理给出．

定理设二次曲线C：F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0，并记F1(x,y)=2ax+by+d,F2(x,y)=bx+2cy+e．若曲线C的弦P1P2的中点为M(x0,y0)，弦线的斜率为k，则k与(x0,y0)满足F1(x0,y0)+kF2(x0,y0)=0 ①．

公式①揭示了二次曲线C中以M(x0,y0)为中点的中点弦P1P2的斜率k与中点坐标(x0,y0)之间的关系，本文称公式①为二次曲线的中点弦公式．熟悉函数的导数的读者不难看出，此定理中所设函数F1(x,y),F2(x,y)分别为二次曲线F(x,y)关于x,y的偏导函数，即F1(x,y)=Fx(x,y),F2(x,y)=Fy(x,y)．但下面的证明完全不用导数，同时，即使对于未学导数的中学生来讲，F1(x,y),F2(x,y)的形式简明而有规律，也是容易记住并掌握的．下面给出定理的证明．

由于P1(t1),P2(t2)为弦线与二次曲线C的交点，所以t1，t2满足直线P1P2与二次曲线C的交点方程F(x0+tcosα,y0+tsinα)=0 ②，展开整理得(acos2α+bcosαsinα+csin2α)t2+(F1(x0,y0)cosα+F2(x0,y0)sinα)t+F(x0,y0)=0．由于t1和t2是……