数形结合与绝对值最值问题的整合及应用

林伟燕

[摘   要]绝对值最值问题是需要学生结合绝对值的几何意义和代数意义进行运算、推理、迁移的一种题型.纵观近年来各省市的数学中考试题，绝对值最值问题日渐成为新亮点.解绝对值问题要从绝对值的几何意义与代数意义两方面去寻找着力点，重点是掌握求几个绝对值之和的最小值的方法.文章立足绝对值的代数意义与几何意义通过数形结合解决绝对值最值问题，以培养学生的创新思维，提高学生分析问题和解决问题的能力.

[关键词]绝对值;最值问题;数形给合

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0029-03

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.当解决数学问题时，通常会将抽象的数学问题与直观的图形结合起来.纵观近年来各省市的数学中考试题，绝对值最值问题日渐成为新亮点.基于此，教师可引导学生通过数形结合理解绝对值的代数意义和几何意义，从而破解绝对值最值问题难点，有效掌握数形结合、分类讨论、建模、转化等数学思想.本文通过实例探究来分析数形结合与绝对值最值问题的整合及应用.

绝对值之和求最小值分两类：

1.未知数[x]系数为1，形如[x+2+x-1];

2.未知数[x]系数不为1，形如[x+2+2x-1].

探究一 未知数x系数为1 的情况

1.求[x+2+x+1]的最小值

解法一：利用绝对值的代数意义.

当[x≥0]时，[x=x];当[x<0]时，[x=-x].

当[x<-2]时，[x+2+x+1=-x-2-x-1=-2x-3>1]（如图1）;

图1

当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1=x+2-x-1=1]（如图2）;

图2

当[x≥-1]时，[x+2+x+1= x+2+x+1=2x+3≥1]（如图3）;

图3

∴[x+2+x+1≥1]，即[x+2+x+1]的最小值为1.

解法二：[x+2+x+1]的几何意义是在数轴上找一点x，使它到-2和-1的距离之和最小.

图4

由图4可知，根据“两点之……