相对τ⁃extending模*

李煜彦

（陇南师范高等专科学校 数信学院，甘肃 陇南 742500）

0 引言

与连续模和拟连续模相关的问题一直是许多作者的研究对象,其中extending模是与连续模和拟连续模联系非常紧密的模类,其相关问题是环模理论的研究热点。[1-5]称M是extending模(也称CS模),如果M的每个子模是其直和因子的本质子模。众所周知,内射模、连续模、拟连续模等都是extending模。近年来,一些作者把对extending模的研究进行了更广泛的推广。2007年,Song[6]和Charalambides[7]从挠理论的角度分别研究了extending模和内射模,并分别提出了τ-CS模和τ-内射模的概念。2012年和2017年,Çeken,S和Alkan[8-9]也从挠理论的角度定义并研究了τ-extending模,该定义方式与文献[7]有着本质的不同。2011年至2019年期间,Asgari等人[10-14]从Goldie挠理论的角度研究了t-extending模及其各种推广,得到了许多有意义的结论。受以上文献的启发,对于R-模M,N,本文提出了M是相对N的τ-extending模的概念,研究了M是Aτ-(C3)模的等价刻画,当M是τ-N-extending模时,讨论了模M的直和分解。

1 预备知识

本文中的环都是有单位元的结合环,模指酉右R-模。称L是M的τ-稠密子模,如果是τ-挠模,记为L≤τ-d M。称L是M的τ-纯子模,如果是τ-挠自由模,记为L≤τ-p M。用Dτ(M)和Pτ(M)分别表示由M的所有τ-稠密子模和τ-纯子模构成的集合。

称L是M的τ-本质子模,如果L≤τ-d M且L≤e M,记为L≤τ-e M。设M,N是模,称N是τ-M-内射模,如果对任意K≤τ-d M以及任意同态f:K→N,存在同态g:M→N,使图1可交换:

图1 交换图1

称N是τ-拟内射模,如果对任意模M,N是τ-M-内射模。设E(M)表示M的内射包,令,由 文 献[7]知,Eτ(M)是包含M的最小的τ-内射模。

设M是模,Aτ是由M的τ-稠密子模构成的模族,且Aτ关于τ-稠密子模,τ-基本扩张和同构像封闭。下面给出M分别是满足Aτ-(C1)条件和Aτ-(C3)条件的模的概念。……