“线性相关”教学案例及分析

曾振新

(云南省西双版纳职业技术学院 666100)

美国学者萨普认为，“概念在数学中不仅是首要的，而且实际上就是一切；在很大程度上，‘数学对象’没有独立的或超过概念之外的存在”.《线性代数》课程中，有许多概念需要认真学习和领会，特别是在线性空间的知识内容中碰到的概念会更多一些.

一、关于线性相关概念的分析案例

线性空间的基本元素是向量，向量之间的第一层关系是“线性组合”或者称“线性表示”.然而，与之密切相关的“线性相关性”在《线性代数》整个课程中却占有很重要的位置.

《线性代数》教材中关于“线性相关”的定义是这样表述的：对于向量组α1，α2，…，αs，如果存在不全为零的数k1,k2,…,ks使关系式k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立，则称向量(组)α1，α2，…，αs线性相关；否则称向量(组)α1，α2，…，αs线性无关.满足上面等式的不全为零的数k1,k2,…,ks，称为向量组α1，α2，…，αs的一组相关系数.

1.教学分析

一个数学概念的给出，总要回答这样两个问题，一是为什么，即有什么作用.二是怎么做，即如何解决这样的问题.

本定义提供的重要信息是它是用来判别一组向量是否是线性相关或线性无关的，即它的作用.很明显，在定义中，给出了基本条件有两个，即：

(1)有s个向量α1，α2，…，αs；

(2)s个实数k1,k2,…,ks.

显然，定义中，也给出了两个判断条件即：

(1)满足一个线性关系即：k1α1+k2α2+…+ksαs=0；

(2)s个不全为零的数或s个全为零的数.

本定义提供的第二个信息是如何来判断一组向量是线性相关或线性无关.因为判断条件是一个等式及这个等式中的这s个数即k1,k2,…,ks，因此，解决问题的关键因素是……